3. КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО

При исследовании колебаний для описания динамических явлений часто удобно искусственно вводить комплексные векторы. В этом случае осуществляется переход к комплексному пространству. Примерами могут служить описания механических колебаний и их преобразований, осуществляемых реальными датчиками. Применяя комплексное пространство при описании гармонических процессов, можно геометрически выражать временные сдвиги в рассматриваемых векторных процессах и реализовать известные преимущества аналитических расчетов с использованием комплексных показательных функций.

Комплексное евклидово пространство. Пусть есть базис трехмерного комплексного евклидова пространства, в котором определены операции умножения векторов на комплексные числа и сложения векторов и заданы два скалярных произведения векторов [13, 14] и (х, у) [6], которые назовем соответственно первым и вторым.

При ортонормированием вещественном базисе, который используется ниже,

В таком базисе указанные скалярные произведения векторов х и у:

в координатной записи имеют вид

где у есть вектор, координаты которого комплексно сопряжены с координатами вектора у.

Скалярным квадратом вектора х называют выражение

В комплексном пространстве как скалярные произведения векторов, так и квадрат вектора могут принимать комплексные значения и, в частности, быть вещественными, мнимыми и нулем. Векторы, скалярный квадрат которых равен нулю, называют изотропными [13, 14].

Норму вектора в комплексном пространстве удобно задавать через второе скалярное произведение

чтобы она выражалась положительным вещественным числом. При исследовании гармонических колебаний первое скалярное произведение используют для учета фазовых сдвигов, а второе — для получения энергетических соотношений.

Представление комплексных векторов. Комплексный вектор х можно представить суммой двух векторов

где вещественные числа. Вектор задан в собственно евклидовом пространстве с базисом а вектор — в псевдоевклидовом пространстве с базисом из мнимоединичных векторов:

В этом случае для наглядного представления векторов необходимо использовать два трехмерных пространства. Эти пространства можно совместить, причем вариантов совмещения может быть бесконечно много.

Но комплексный вектор х можно представить и иначе, поставив ему в соответствие пару векторов собственно евклидова пространства, из которых умножением на переводится в вектор псевдоевклидова пространства:

Учитывая последнее замечание, для наглядного представления комплексных векторов будем использовать только собственно евклидово пространство, задавая в нем образы комплексных векторов пары векторов причем при графическом представлении векторов условимся векторы вещественной части комплексных векторов изображать сплошными линиями, а векторы мнимой части комплексных векторов — штриховыми.

Рис. 5. Образ комплексного вектора х в базнсе

Рис. 6. Образ комплексного вектора равного сумме комплексных векторов х и у

На рис. 5 показан образ комплексного вектора х в базисе В общем случае комплексный вектор х можно представить разложенным по двум единичным векторам имеющим направление векторов соответственно (рис. 5)

Простым комплексным вектором назовем вектор х, который может быть задан через один единичный вектор

Некоторые свойства комплексного пространства. Ниже приведены наиболее важные свойства комплексного пространства.

1. При сложении векторов х и у (рис, 6) вектор суммы

2. При умножении вектора на комплексное число - результирующий вектор

Образ вектора остается в подпространстве, определяемом векторами При умножении на комплексное число изотропный сектор остается изотропным, а простой — простым. При умножении на векторы вещественной и мнимой частей изотропных векторов вращаются в пространстве, а простых — осциллируют со сдвигом по фазе на

3. Для первого скалярного произведения

Первое скалярное произведение векторов х и у, выраженное через векторы вещественной и мнимой частей, имеет вид

В частности,

4. При ортогональности комплексных векторов х и у их скалярное произведение обращается в нуль, при этом из (33) следует, в частности, что

Изотропный вектор х ортогонален самому себе, и, как следует из уравнения (34),

т. е. у изотропного вектора векторы равны по норме и ортогональны.

5. Комплексный вектор можно характеризовать углом между векторами (см. рис. 5), для которого

Поэтому равенство (34) можно записать в виде

Для простого комплексного вектора а для изотропного

6. Для второго скалярного произведения

Второе скалярное произведение векторов х и у, выраженное через векторы вещественной и мнимой частей, имеет вид

В частности,

7. Любой комплексный вектор х, не являющийся изотропным или простым, можно разложить на простой комплексный вектор и изотропный вектор добавив к исходным векторам или и вычтя из них векторы, дополняющие их до изотропных в подпространстве, заданном векторами Так, с помощью вектора вектор х можно представить в виде суммы:

изотропного и простого мнимого векторов:

8. С использованием первого скалярного произведения в комплексном пространстве можно задать те же метрические операции над векторами, что и в вещественном пространстве.

9. Всякому линейному оператору А вещественного пространства соответствует линейный оператор комплексного пространства, действие которого на вещественные базисные векторы совпадает с действием исходного оператора на эти векторы, и действие которого на произвольные комплексные векторы определяется по закону [14]

В, частности,

Ортогональные операторы переводят изотропные векторы в изотропные, поэтому изотропные векторы переходят друг в друга при вращении пространства.

Переход к комплексному пространству во временной области. Наиболее распространенным способом перехода от вещественного пространства к комплексному во временной области является построение вектора мнимой части комплексного вектора как преобразования Гильберта исходного вещественного вектора [20].

Комплексный аналитический вектор, отвечающий вещественному вектору будем обозначать через а построенный вектор мнимой части — через

где неподвижные единичные векторы.

Функции связаны парой преобразований Гильберта:

причем в обоих случаях интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е. в (47)

Из (47) и (48) следует, что

Исходные и преобразованные по Гильберту функции (табл. 1), рассматриваемые как векторы функционального пространства, ортогональны между собой;

Для гармонических и узкополосных случайных процессов преобразование Гильберта дает возможность неформально представить процессы в виде комплексных показательных функций.

При

При когда медленно Меняющиеся функции времени по сравнению с соответственно,

1. Некоторые функции и их преобразования по Гильберту

(см. скан)

Пример. Измерению подлежит гармоническая величина

комплексный вектор которой

где - вектор комплексной амплитуды

Измеряющий датчик характеризуется вектором комплексной чувствительности к этой величине

Выходной сигнал датчика

где комплексная амплитуда сигнала;

Описание гармонического движения точки. Пусть координаты точки изменяются по закону

где амплитуды перемещений вдоль осей

Радиус-вектор комплексный радиус-вектор и вектор комплексной амплитуды точки имеют вид

Конец радиус-вектора точки движется в пространстве по эллипсу в плоскости, проходящей через векторы Направление, перпендикулярное этой плоскости, задается единичным вектором

Ниже даны частные случаи гармонического движения точки в плоскости. 1. Движение точка по прямой линии. Координаты точки

Вектор комплексной амплитуды

является простым комплексным вектором (рис. 7), у которого

Вещественная и мнимая части вектора осциллируют

2. Движение точки по окружности Координаты точки

Знак плюс соответствует движению точки против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке.

Вектор является изотропным

поэтому при умножении его на опять получается изотропный вектор векторы вещественной и мнимой части которого вращаются в плоскости против часовой или по часовой стрелке.

Рис. 7. Образ вектора комплексной амплитуды при гармонических колебаниях точки с прямолинейной траекторией

На рис. 8, а и б показаны образы векторов комплексной амплитуды, соответствующие указанным направлениям вращения.

Рис. 8. Образы векторов комплексной амплитуды при гармонических колебаниях точки с траекторией в виде окружности: вращение против часовой стрелки, вращение по часовой стрелке

Рис. 9. Образ вектора комплексной амплитуды при гармонических колебаниях точки с траекторией в виде эллипса

3. Движение точки по эллипсу. Координаты точки

Образ вектора комплексной амплитуды показан на рис. 9. На рис. 10 показаны траектории, описываемые концом радиус-вектора при различных углах и отвечающие им векторы вещественной и мнимой частей вектора комплексной амплитуды

При положительных углах точка движется по эллипсу по часовой стрелке, при отрицательных — против часовой стрелки, при этом в первом случае вектор опережает вектор во втором — отстает от вектора

Рис. 10. Траектории, описываемые точкой при различных углах сдвига фаз и отвечающие им векторы вещественной (сплошная линия) и мнимой (штриховая линия) частей вектора комплексной амплитуды

При углах, меньших эллипс имеет положительный наклон, при углах, больших отрицательный. При положительном наклоне вектор находится в первом квадранте, при отрицательном — в четвертом.

Полученные результаты позволяют решить обратную задачу определить величины по форме эллипса и направлению движения точки по нему.

На рис. 11 изображены эллипсы с положительным и отрицательным наклоном и указаны координаты характерных точек. Точка С, отвечающая нулевому моменту времени, в принятом описании движения всегда находится на правой стороне прямоугольника, в который вписан эллипс. Амплитуды находят по максимальным отклонениям от начала координат вдоль осей Для определения угла сначала находят вспомогательный угол через значения

Угол положительный и изменяется от до

Значение угла находят следующим образом:

Если наклон эллипса положителен, то при движении точки по часовой стрелке, и при движении против часовой стрелки.

Если наклон эллипса отрицателен, то при движении точки по часовой сфелкс, и при движении против часовой стрелки.

Переход к комплексному пространству в частотной области. В частотной области переход к комплексному пространству осуществляют, используя преобразования Лапласа и Фурье.

В области комплексных частот переход к комплексному пространству осуществляют через преобразование Лапласа исходного временного вектора

Оригинал связан с изображеиием по Лапласу обратным преобразованием Лапласа:

Рис. 11. Эллипсы с координатами характерных точек: а — эллипо с положительным наклоном; эллипс с отрицательным наклоном

Пример. Измеряемый векторный процесс имеет изображение по Лапласу а измеряющий датчик нмеет вектор операторной чувствительности

Выходной сигнал датчика определяют через изображение сигнала по Лапласу

В области вещественных частот переход к комплексному пространству осуществляют путем получения вектора комплексного спектра исходного

временного вектора через его преобразование Фурье:

Оригинал связан с изображением по Фурье комплексным спектром, обратным преобразованием Фурье:

Пример. Измеряемый векторный процесс имеет комплексный спектр а измеряющий датчик—вектор комплексной чувствительности

Выходной сигнал датчика определяют через комплексный спектр сигнала