2. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

Задание векторов. Пусть имеется базис вещественного трехмерного линейного пространства (см. рис. 1). Положение точки относительно базиса задают радиусом-вектором проведенным из общего начала О в заданную точку.

В вещественном линейном пространстве определены операции сложения векторов как ориентированных отрезков и умножения векторов на вещественное число [13, 14]. Поэтому радиус-сектор можно записать в виде

Числа называют координатами вектора по отношению к базисным векторам Эти же числа называют прямолинейными (аффинными) координатами точки [14]. При использовании единичных и ортогональных базисных векторов эти координаты называют прямоугольными декартовыми.

Если есть радиус-векторы точек 1 и 2, то вектор которого порядок следования индексов указывает, что он проведен из точки 1 в точку 2, равен разности векторов

Уравнение

определяет точку А, лежащую на прямой, проходящей через точки 1 и 2 (рис. 2).

Рис. 2. Прямая, проходящая через заданные точки 1 и 2

Для ряда векторов важно знать только их длину и ориентацию относительно принятого базиса. Такие векторы задают через их проекции; например, для вектора скорости точки

где проекции, или координаты, вектора

Скалярное произведение векторов. Наше физическое пространство является евклидовым, поскольку в нем определено скалярное произведение векторов, и метрическим, так как в нем определены расстояние между точками и длина, или норма вектора [13, 14]. Скалярное произведение векторов есть вещественное число

координаты симметричного метрического тензора

В матричной форме скалярное произведение векторов имеет вид

где матрица-строка, отвечающая вектору и получающаяся транспонированием матрицы-столбца а — матрица-столбец, отвечающая вектору а. Базисные векторы называют единичными, если

и перпендикулярными, или ортогональными, если

Базис, удовлетворяющий условиям (7) и (8), называют ортонормированным, а его единичные векторы — ортами. В этом случае

Ниже везде, если не оговорено особо, базис принят ортонормированным. В ортонормированием базисе скалярное произведение векторов имеет вид

и, следовательно,

Норма вектора. Длиной, или нормой вектора евклидова пространства называют неотрицательный квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора:

Единичный вектор будем обозначать далее через или

Расстояние между точками. Расстоянием между точками пространства называют норму вектора, проведенного между этими точками. Из (2) следует, что

Угол между векторами. В силу неравенства Коши [14] для двух векторов

Это отношение есть косинус угла между векторами :

Угол между ортогональными векторами равен так как при этом

Криволинейные координаты точки. При задании движения точки в криволинейных координатах для каждого положения точки могут быть построены три координатные поверхности пересекающиеся между собой по трем координатным линиям вдоль каждой из которых изменяется только одна из криволинейных координат. Касательные к координатным линиям, проведенные из рассматриваемого положения точки в сторону возрастания изменяющейся криволинейной координаты, называют осями криволинейных координат Совокупность единичных векторов этих осей в рассматриваемой точке образует базис криволинейной системы координат.

В цилиндрических координатах (рис. 3) координатными поверхностями служат цилиндрическая поверхность плоскости Базис цилиндрической системы координат ортогональный и его орты связаны с ортами базиса декартовой системы координат соотношениями (рис. 3):

При перемещении точки О направление ортов изменяется в общем случае.

В цилиндрических координатах радиус-вектор произвольной точки О имеет вид

Из уравнений (16) также следует, что

В сферических координатах (рис. 4) координатными поверхностями являются сферическая поверхность коническая поверхность и плоскость

Рис. 3. Цилиндрические координаты: а — координатные поверхности координатные лнннн оси и базис цилиндрических координат, связь ортов цилиндрических и декартовых координат

Орты ортогонального базиса сферической системы координат связаны с ортами базиса декартовой системы координат соотношениями (рис. 4):

Рис. 4. Сферические координаты: а — координатные поверхности I, II, 111, координатные линии и базнс сферических координат, связь ортов сферических и декартовых координат

В общем случае направления ортов зависят от положения точки О. В сферических координатах радиус-вектор точки О имеет вид

Метрические операции над векторами. При проведении измерений и их описании наиболее часто используют следующие метрические операции над векторами: скалярное, векторное и смешанное произведение векторов; преобразование координат векторов при переходе от одного базиса к другому; задание линейных скалярных и векторных функций векторного аргумента [13, 14].