Глава III. МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ

1. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОВ

При изучении свойств реальных процессов важным этапом является удачный подбор математических моделей. От модели требуется, чтобы она отражала те свойства процесса, которые представляются наиболее важными. При подборе и конкретизации модели преследуют различные цели: компактность описания, получение в удобной форме исходных данных для расчетов, формулировку требований к средствам измерения, регистрации и воспроизведения вибрационных процессов. Ниже рассмотрены модели непрерывных (ненрерывнозначных) процессов. Однако изложенное справедливо и для последовательностей — процессов, у которых область определения образует дискретное множество [5]. Последовательность может быть получена, например, из непрерывного процесса путем его дискретизации по времени с шагом

(Описание процессов см. гл. III и том I, гл. I и XVII).

Аппроксимационные модели. Аналитическая модель может строиться с целью приближенного описания процесса совокупностью конечного (обычно малого) числа величин. Аппроксимационная модель представляет собой выражение зависящее от I постоянных Вид функции задается исходя из требований сходства или близости в известном смысле к процессу Коэффициенты находят из условий наилучшей аппроксимации. Аппроксимационную модель чаще используют при описании процессов, простых по форме (в частности, одиночных импульсов и периодических процессов). Некоторые коэффициенты с; входят в выражение нелинейно.

Задачи аппроксимации часто связывают с задачами разложения функции в ряды по выбранным системам функций Такое сопоставление имеет смысл, если коэффициенты входят в функцию линейно [7]:

Это выражение рассматривается как конечный отрезок бесконечного ряда

Для ортонормированной системы функций с весом

При выполнении этих условий коэффициенты ортонормированного ряда, определяемые из условий наилучшего приближения на интервале заданной функции

На практике используют разложения в ряд Фурье, по полиномам Чебышева, и Лежандра, Лагерра, Эрмита [7, 8, 12] по разрывным функциям Хаара и Уолша и т. д.

В технической литературе задачи аппроксимации и разложения принято формулировать на языке функционального анализа [14].

Модели на основе интегральных преобразований. Другой способ представления процессов связан с использованием интегральных представлений (преобразований) Линейное интегральное преобразование процесса в общем виде определяется следующим образом:

Интегральное преобразование переводит непрерывную функцию аргумента в непрерывную функцию аргумента Свойства интегрального преобразован определяются ядром Обычно используемые интегральные преобразования обладают свойством обратимости: функция выражается через линейным интегральным преобразованием. Часто используют интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Гильберта (см. гл. I). Преобразование Фурье определяется следующим образом:

Функция представляет собой спектральную характеристику функции Далее величину будем называть комплексным амплитудным спектром или спектром (см. также том 1, стр. 21 и 271). Обратное преобразование Фурье имеет вид

Выражения (6) и (7) являются исходными для спектральной теории процессов [1, 12]. Свойства интегрального преобразования Фурье и типичные примеры описаны в работе [7]. Интегральные преобразования часто применяют тогда, когда функция по виду проще, чем Их удобно использовать для записи зависимости выходного сигнала линейной системы от входного, при нахождении огибающих узкополосных сигналов, при определении распределения энергии сигналов по частотам и пр. [8, 11, 12, 14].

Для последовательности получаемой из непрерывного процесса равномерной дискретизацией по времени с шагом по аналогии с (6) вводят -преобразование, обозначаемое через

Хорошо разработанная теория -преобразования является основным математи ческим аппаратом теории дискретных систем и цифровой обработки сигналов [2, 3, 13, 16, 17].