5. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
При измерении, передаче и преобразовании сигналов часто осуществляется [IX перевод из непрерывной в дискретную форму. В результате равномерной дискретизации по времени с постоянным шагом 
непрерывного процесса 
получается последовательность значений 
Переведение непрерывных сигналов в дискретные представляет собой обязательный этап, если последующие преобразования осуществляются на ЭВМ. Хорошо разработана теория линейных преобразований дискретных сигналов (см., например [19, 21-23]).
После переведения сигналов в дискретную форму и проведения необходимых преобразований может оказаться необходимым получение непрерывного сигнала путем интерполяции или экстраполяции на время шага. Если даже эта операция фактически не осуществляется, важно знать, какая информация теряется при дискретизации и с какой точностью можно восстановить непрерывный сигнал по дискретным значениям. Наглядное представление об изменениях свойств сигналов после дискретизации и последующего восстановления получается для модели стационарного случайного сигнала.
Рис. 5. Спектральная плотность дискретизованного низкочастотного процесса
Рис. 6. Спектральная плотность широкополосного процесса исходного (сплошные линии) и дискретизованного (штриховые)
Если 
спектральная плотность непрерывного сигнала 
то для дискретизованного сигнала, представленного в виде «решетчатой функции»:
спектральная плотность 
является периодической и определяется выражением [20]
Два типичных случая изображены на рис. 5 и 6. Когда процесс является низкочастотным, кривые, соответствующие слагаемым выражения (21), практически не перекрываются (рис. 5), поэтому в диапазоне 
основных частот непрерывного процесса выполняется условие 
т. е. информация 
непрерывном процессе при дискретизации практически не искажается.
Для широкополосного процесса вследствие наложения кривых совершенно изменяется вид спектральной плотности (рис. 6), дискретная последовательность приобретает свойства белого шума, и непрерывный сигнал практически невозможно Остановить. Если принять, что спектр сигнала ограничен частотой 
то перекрытие отсутствует при со 
Отсюда делают практические выводы по выбору шага дискретизации. Условие на шаг интервала дискретизации часто связывают с тсоремой Котельникова [8], в силу которой при 
можно точно восстановить непрерывный сигнал по последовательности его дискретных значений. Однако это возможно только при строгой ограниченности спектра, при вполне определенном способе восстановления (с помощью ряда Котельникова) по бесконечной последовательности дискретных значений.
Любой реальный способ интерполяции или экстраполяции (особенно при местном ограниченном спектре сигнала) всегда сопровождается ошибками. Обычно испэльзуемые способы интерполяции обладают таким свойством, что в моменты 
полученные дискретные значения воспроизводятся точно, а график модуля ошибки 
имеет вид пилообразной функции. При экстраполяции на шаг вперед максимальные значения ошибок достигаются непосредственно перед получением очередного значения 
а при интерполяции — как правило, на серединах интервалов при 
Характеристиками точности интерполяции или экстраполяции могут быть: максимум максиморум 
модуля ошибки, дисперсия 
полученная осреднением по всему времени, дисперсия 
значений максимумов на каждом шаге.
Рис. 7. Графики кусочно-постоянной интерполяции и ошибки интерполяции непрерывного процесса
Рассмотрим простейший вариант интерполяции: запоминание постоянного значения на интервале 
На рис. 7 изображен непрерывный процесс 
результат его кусочно-постоянной интерполяции и ошибка 
интерполяции. Ошибки интерполяции приближенно оценивают по значениям первой производной 
процесса:
Ишахшахтшах; (22)
где 
— дисперсия процесса 
При линейной интерполяции ошибки пропорциональны значениям второй производной 
Те же характеристики точности определяются выражениями
Оценки (22) и (23) применимы как для детерминированных, так и для вероятностных моделей процессов.
Если шаг 
дискретизации по времени задан, а процесс широкополосный, то перед дискретизацией целесообразно сглаживать сигнал. При этом устраняются высокочастотные составляющие, которые не могут быть воспроизведены и играют роль помехи; тем самым повышается точность воспроизведения низкочастотных составляющих. Предымпульсная фильтрация (сглаживание сигналов перед дискретизацией) является эффективным средством повышения точности.
При преобразовании сигналов в цифровую форму происходит их квантование по уровню. Ошибка квантования представляет собой пилообразную функцию, в зависимости от способа квантования максимальная ошибка равна 
или 
а дисперсия ошибки квантования равна 
где 
высота ступени квантования. По временным свойствам ошибки квантования представляют собой широкополосные шумы.
Список литературы
(см. скан)
