3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛАХ

Связь между входными и выходными сигналами. Если входные и выходные сшналы рассматриваются как случайные процессы, то основной задачей теории является установление соотношений между результатами осреднения этих сигналов, результатов их преобразования или значений параметров. При этом осреднение можег осуществляться по любому множеству: конечному или бесконечному, дискретному или непрерывному. Для обозначения операции осреднения используют символ который в частном случае может иметь смысл вероятностного осреднения (матемашческого ожидания).

Для осредненных значений выходных и входных сигналов линейных систем соотношения связи имеют такой же вид, как и для детерминированных процессов. Основной характеристикой разброса относительно среднею является дисперсия. Дисперсия выходного сшнала линейной системы является постоянной, если выполняюкя следующие три условия: входной процесс стационарный, система асимптотически устойчива, время воздействия достаточно велико по сравнению

с длительностью переходных процессов. При выполнении этих условий свойства системы удобно задавать комплексной частотной характеристикой а свойства входного процесса — спектральной плотностью Выражение для спектральной плотности выходного процесса имеет вид

а дисперсия выходного процесса определяется выражением

Соотношение [18] имеет простой физический смысл: мощности составляющих с различными частотами суммируются, как для полигармонического процесса. Для дробно-рациональных подынтегральных выражений в ряде книг (например, [12]) приведены выражения интеграла (19) через коэффициенты полиномов числителя и знаменателя (см. также гл. XVII и XVIII).

Рис. 3. Амплитудные спектры входного улгополосного случайного процесса и выходного процесса в СИ с равномерной АЧХ

Рис. 4. Амплитудные спектры входного широкополосного случайного процесса и выходного процесса в СИ с частотно-избирательной АЧХ

Рекомендации для измерений и анализа результатов. Сначала рассмотрим два частных случая.

1. Входной процесс узкополосный, так что спектральная плотность имеет пик, а АЧХ системы — плавная (рис. 3). В этом случае кривая спекфалыюй плотности имеет почти тот же вид, что и т. е. основные частоты выходного и входного процессов одинаковы

2. Входной процесс широкополосный, а система обладает ярко выраженными резонансными свойствами (рис. 4). В этом случае спектральная плотность выходного процесса имеет пик почти на резонансной частоте системы.

В общем случае в спектральной плотности выходного процесса одновременно проявляются как основные частоты входного процесса, так и резонансные частоты системы. С учетом этих простейших соображений можно грубо оценивать основные свойства параметров объектов, что необходимо для формулировки требований к средствам измерения и передачи измерительной информации, а также к воспроизведению процессов Так, если заранее известно, что воздействия на объект узкополосные, именно на эти частоты следует ориентироваться при измерениях. Когда объект преобладает резонансными свойствами, необходимо оценить частоту с которой начинает быстро спадать его АЧХ. Эту частоту можно рассматривать как оценку (возможно завышенную) для верхней границы диапазона частот измеряемого процесса Если свойства объекта характеризуются набором резонансных частот, то верхней границей диапазона может быть частота , начиная с которой резонансные явления практически не проявляются.

Грубый количественный анализ поведения спектральных плотностей удобно проводигь в логарифмической сетке. При дробно-рациональной аппроксимации

спектральная плотность, как и квадрат АЧХ, предаавляется приближенно асимптотической ломаной, коэффициенты наклона по участкам которой кратны

То обстоятельство, что входные процессы или их свойства известны лишь при. ближенно, может быть учтено путем явного задания пределов их возможных изменений. По этим данным могут быть оценены пределы изменений выходных процессов, их характеристик и параметров. Для достижения простоты описания изменчивости свойств выходных процессов обычно используют линеаризацию зависимостей относительно параметров, а также хорошо разработанный аппарат теории чувствительности [18].