5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Описание движения твердого тела. Пусть имеется основная система координат в которой описывается движение тела В вместе с подвижной системой координат жестко связанной с этим телом (рис. 13). Радиус-векторы задают мгновенное положение в пространстве произвольной точки гела и выбранного полюса относительно системы координат причем

где радиус-вектор выбранной точки относительно полюса. При задании вектора в системе координат равенство (93) принимает вид

где орты Из равенства (94) следуют выражения для проекций вектора на оси системы координат

где девять направляющих косинусов осей, из которых три являются независимыми [9, 16]. Матрица характеризует переход от системы к системе

Рис. 13. Схема задания в системе координат движения тела вместе с подвижной системой координат Рхуг

Таким образом, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы движения и его положение в пространстве может быть задано радиус-вектором полюса и указанием ориентации системы относительно системы

В качестве обобщенных координат можно выбрать три координаты полюса и либо три направляющих косинуса, либо три независимых между собой угла Эйлера. Для описания конечных вращений как правило используют углы Эйлера, которые могут быть выбраны разными способами в зависимости от типа решаемой задачи. Так, для описания движения волчкй удобна система углов, описывающая его прецессию, нутацию и собственное вращение стр. 48).

Для описания угловой вибрации твердого тела удобнее система эйлеровых углов, представленная на рис 14, которая нашла широкое применение в динамике самолета и при решении многих других технических вопросов [5, 9, 11] В этой системе эйлеровы углы, определяющие поворот твердого тела (системы координат относительно полюса, задаются следующим образом. Рассмотрим три последовательных вращения системы координат, жестко связанной с телом.

Рис. 14. Система эйлеровых углов, определяющих поворот твердого тела относительно полюса

Для геометрического изображения поворотов твердого тела используем сферу с центром в выбранном полюсе. Вначале системы координат и совпадают, так что оси совпадают соответственно с осями Первым поворотом вокруг оси на угол (угол рыскания) система переводится в положение (рис. 14, а). Затем система поворачивается на угол В [угол тангажа (дифферента)] относительно оси и занимает положение (рис. 14, б). Наконец, третьим поворотом относительно оси на угол (угол крена) система переводится в окончательное положение (рис. 14, в). В принятых правых системах координат положительные углы отвечают поворотам против часовой стрелки. В общем случае операции конечного вращения некоммутативны, а три угла не образуют вектора. Указанные выше последовательные повороты, дающие переходы к новым системам координат, описываются соответственно ортогональными матрицами V,

Результирующий переход от сисгемы к системе задается матрицей а обратный переход — матрицей где

Возможны и другие системы эйлеровых углов, в которых используются повороты относительно каждой из осей подвижной системы координат [11].

Из уравнения (93) с учетом (95) следует, что

В общем случае движение твердого тела в соответствии с уравнением (98) может быть представлено суммой двух независимых движений: поступательного вместе с полюсом, при котором изменяются только координаты полюса и вращательного относительно полюса, при котором изменяются только углы между осями

Угловые перемещения твердого тела. При больших углах поворотов угловые перемещения тела задаются изменениями углов Эйлера. При малых углах поворотов возможно введение вектора угла поворота а, поскольку при этом матрицу А с точностью до величин второго порядка малости можно представить в виде

В этом случае исходя из уравнения (98), можно записать [9]

где — углы поворота тела относительно осей

Полученное представление результирующего поворота вектором говорит о том, что для малых углов операции конечного вращения можно считать коммутативными. Можно считать при этом, что повороты на углы совершаются вокруг осей Последнее замечание используется при выборе обобщенных координат для описания малых колебаний упруго закрепленного твердого тела (см. том I, стр. 71). Вектор угловых перемещений 6 тела характеризует ею повороты относительно заданного положения

При малых угловых перемещениях и

Угловая скорость твердого тела есть кинематическая мера вращательного движения тела, выражаемая вектором равным по модулю отношению элементарного угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается этот поворот, и направленным вдоль мгновенной оси вращения в ту сторону, откуда элементарный поворот тела виден происходящим против часовой стрелки [17].

Для проекций мгновенной угловой скорости на оси справедливы равенства [9, 11]

Связь между проекциями угловой скорости на оси подвижной и основной систем координат и принятыми углами Эйлера дается уравнениями

При малых угловых перемещениях и

Угловое ускорение твердого тела есть мера изменения угловой скорости тела, равная производной от угловой скорости по времени [17]:

Для проекций вектора углового ускорения на оси основной системы и системы координат, связанной с телом, имеем равенства [9, 15]:

Равенства (107) имеют место в силу условия см. уравнения (82).

Перемещения точек твердого тела. Абсолютное перемещение произвольной точки тела, отсчитываемое от некоторого заданного ее положения складывается из перемещения полюса и перемещения точки при повороте тела относительно полюса:

При малых угловых перемещениях тела вектор перемещения произвольной ючки в силу соотношений (100) и (101) можно представить векторным равенством

Скорости точек твердого тела. Выражение для абсолютной скорости произвольной точки твердого тела следует из уравнения (78) при (так как ):

где скорость полюса

Положив через соотношения (82) находим связь между проекциями векторов в подвижной системе координат Рхуг:

Ускорения точек твердого тела. Выражение для абсолютного ускорения произвольной точки твердого тела следует из уравнения (86) при

где ускорение полюса -вращательное (тангенциальное) Ускорение точки, — осестремительное ускорение. Положив через соотношения (82) находим связь между проекциями векторов в подвижной системе координат :

Пример. Тело В вместе с подвижной системой координат совершает угловые колебания вокруг оси По известным проекциям абсолютного перемещения точки тела в основной системе координат найти проекции абсолютных перемещения, скорости и ускорения точки в системе координат используя соотношения Оси совпадают Координаты точки

Рис. 15. Угловые колебания тела В вместе с подвижной системой координат вокруг оси векторы абсолютных перемещения и скорости точки компоненты вектора абсолютного ускорения точки угол поворота тела; — вектор угловой скорости тела; до траектория точки

Решение. На рис 15 следует, что Проекции абсолютного перемещения найдем, используя преобразование координат с матрицей V [см уравнение (96)]

Учитывая проекции угловой скорости тела из уравнений находим проекции абсолютной скорости

Из уравнений (113) находим проекции абсолютного ускорения