Глава 2. КРУЧЕНИЕ

2.1. Чистый сдвиг и его особенности

На примере растяжения и сжатия были выявлены некоторые наиболее важные свойства напряженного состояния. При растяжении в зависимости от ориентации секущих площадок на гранях выделенного прямоугольного элемента (см. рис. 1.19) возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Последние, независимо от значений нормальных напряжений, подчиняются условию парности (см. § 1.5).

Теперь положим, что имеется такое напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения (рис. 2.1). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Наиболее просто однородный чистый сдвиг может быть осуществлен непосредственным нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные

Рис. 2.1

Рис. 2.2

накладки (рис. 2.2). Для всех точек пластины касательные напряжения будут, очевидно, следующими:

где - толщина пластины. Исключение составляет узкая краевая зона, где пластина сопрягается с накладками. Здесь напряженное состояние будет отличным от чистого сдвига. Однако в соответствии с принципом Сен-Венана эти отклонения носят чисто местный характер, и область их распространения мала по сравнению с общими размерами напряженной пластины.

В качестве второго примера, иллюстрирующего состояние однородного чистого сдвига, можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами, приложенными в торцевых плоскостях (рис. 2.3). Здесь и далее внешний момент в отличие от внутреннего обозначен через

Напряжение определяют из условий равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению внутренних сил моменту

где - радиус трубки; - ее толщина.

Посмотрим теперь, как при чистом сдвиге изменяются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок. Для этого из пластины, находящейся в состоянии

Рис. 2.3

Рис. 2.4

чистого сдвига, выделим элементарную трехгранную призму (рис. 2.4).

На гранях АВ и по условию возникают только касательные напряжения . На грани в зависимости от угла а возможно возникновение как нормального, так и касательного напряжений. Обозначим их соответственно через и та.

Проектируем все силы, действующие на призму, на оси и Условия равновесия дают

Отрезки АВ и связаны с очевидными соотношениями . Поэтому

При напряжения принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е. , а При Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45°, то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней эти напряжения являются растягивающими, а на другой - сжимающими. Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен

Рис. 2.5

как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 2.5).

Рассмотрим деформации при сдвиге. Касательное напряжение связано с угловой деформацией соотношением (1.13): где, как мы уже знаем, (см. § 1.5).

Рис. 2.6

В результате возникающих угловых деформаций пластина, показанная на рис. 2.2, перекашивается, а торцевые сечения трубки (рис. 2.6) получают взаимные угловые смещения Характер возникающих смещений показан на рис. 2.7, причем

Рис. 2.7

При чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформируемом теле накапливается упругая потенциальная энергия. Эту энергию легко подсчитать, рассматривал изменение формы прямоугольного элемента с размерами и толщиной (см. рис. 2.7).

Примем нижнюю грань элемента условно за неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила совершит работу на перемещении Так как сила меняется пропорционально смещению, то ее работа равна половине произведения (см. § 1.3). Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна Если отнести энергию к единице объема, получим

Выразим 7 через по закону Гука. Тогда

Величина называется удельной потенциальной энергией при сдвиге и измеряется в

Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого сдвига. Для этого удобнее всего воспользоваться испытанием тонкостенной трубки (рис. 2.8). Если во время испытания производить замер момента и взаимного угла поворота сечений на длине можно построить для образца диаграмму . В дальнейшем эту диаграмму, согласно выражениям (2.1) и (2.2), можно легко привести к переменным и 7. Таким образом может быть получена диаграмма сдвига для материала

Рис. 2.8

Сопоставление диаграммы сдвига с диаграммой растяжения для одного и того же материала показывает их качественное сходство. На диаграмме сдвига также имеется упругая зона, зоны текучести и упрочнения.

Аналогичным образом для сдвига, как и для растяжения, можно было бы дополнительно ввести следующие характеристики: предел пропорциональности при сдвиге, предел упругости, предел текучести и т.д. Прежде, когда изучение механики деформируемых тел находилось еще в начальной стадии, так обычно и поступали. В дальнейшем, однако, было установлено, что характеристики сдвига связаны с характеристиками растяжения. В настоящее время теория пластичности дает возможность построить теоретически диаграмму сдвига по диаграмме растяжения, а также выразить все характеристики сдвига через уже знакомые нам механические характеристики растяжения. Точно так же допускаемые напряжения и коэффициенты запаса при чистом сдвиге могут быть связаны с соответствующими величинами для простого растяжения. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в гл. 10.