6.4. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости

Положим, имеется некоторая симметричная рама (рис. 6.21, а). Ее правую часть можно рассматривать как зеркальное отображение левой части относительно плоскости

симметрии. При расчете таких рам оказывается возможным упростить решение задачи и снизить число искомых силовых факторов.

Рис. 6.21

Рассмотрим случаи нагружения рамы симметричной и кососимметричной нагрузками. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к ее левой части (рис. 6.21, б). Под кососимметричной, или антисимметричной, нагрузкой будем понимать такую, при которой силы, приложенные к правой половине рамы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к ее левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 6.21, в).

Аналогично классифицируем и внутренние силовые факторы. Рассмотрим для этого некоторое произвольное сечение рамы, в котором возникает шесть силовых факторов. В правой и левой плоскостях произведенного сечения (рис. 6.22) силы и моменты равны. Посмотрим, какие из шести силовых факторов образуют зеркальное отображение относительно плоскости

Рис. 6.22

сечения. Такими оказываются три: два изгибающих момента и нормальная сила. Будем их называть симметричными внутренними факторами. Крутящий момент и обе поперечные силы в принятой терминологии должны быть названы кососимметричными факторами. Каждый из них противоположен по знаку зеркальному отображению взаимного фактора. Нетрудно теперь доказать следующие положения.

У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке - симметричные силовые факторы.

Рис. 6.23

Обратимся к симметричной раме, например к показанной на рис. 6.21, и выберем основную систему, разрезая раму по плоскости симметрии (рис. 6.23). Обозначим через кососимметричные, а через - симметричные силовые факторы и выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть:

Заметим теперь, что в этих уравнениях многие из коэффициентов обращаются в нуль. Это будут все коэффициенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой -

кососимметричному фактору. Например, обращается в нуль коэффициент Индекс 1 принадлежит кососимметричному фактору и кососимметричные факторы), а индекс 3 - симметричному фактору - симметричные факторы). Обращаются также в нуль и т. д.

Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Точно так же не возникает симметричных перемещении под действием кососимметричных факторов. Сказанное становится еще более очевидным, если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметричных факторов будет кососимметричной (рис. 6.24, а), а от симметричных факторов - симметричной (рис. 6.24, б). При перемножении таких эпюр, естественно, получим нуль, в то время как перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную и симметричной на симметричную дает результат, отличный от нуля.

Рис. 6.24

Итак, вычеркивая из системы уравнений коэффициенты, обращающиеся в нуль, получаем

Как видим, система уравнений распалась на две независимые.

Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной. Из высказанных выше соображений следует, что Первая система уравнений становится однородной. Тогда

Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль.

При кососимметричной нагрузке Тогда этом случае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы.

Все сказанное, понятно, сохраняет силу не только для плоских, но и для пространственных рам при любой степени статической неопределимости.

Бели нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает ни прямой, ни косой симметрией, всегда имеется возможность разложить ее на кососимметричную и симметричную, как это показано, например, на рис. 6.25. Задача, таким образом, распадается на две. Рассматривают отдельно симметричную раму с кососимметричной нагрузкой и раму с симметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в раме определяют в дальнейшем наложением полученных решений.

Рис. 6.25

В случае, если рама геометрически кососимметрична (рис. 6.26), можно также путем сопоставления эпюр для двух половин рамы получить упрощения в системе канонических уравнений. Нетрудно, например, таким способом установить,

Рис. 6.26

что для рамы, показанной на рис. 6.26, при выбранной основной системе Тогда уравнения принимают вид

Следовательно, в сечении А возникает только изгибающий момент, а нормальная и поперечная силы обращаются в нуль.

Пример 6.4. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.27, а.

Рис. 6.27

Рама симметричная и нагружена кососимметрично расположенными силами. Разрезаем ее по оси симметрии и в произведенном сечении прикладываем силы (рис. 6.27, б). Строим эпюры моментов (рис. 6.27, в, г). Симметричные силовые факторы, как мы уже энаем, равны здесь нулю.

Взамен трех уравнений получаем одно: где откуда Р. Эпюра изгибающих моментов и форма изогнутой оси рамы представлены на рис. 6.28.

Пример 6.5. Определить наибольший изгибающий момент в кольцевой раме, нагруженной двумя силами Р (рис. 6.29).

Рис. 6.28

Рис. 6.28

Рама три раза статически неопределима, ко условна симметрии позволяют сократить число неизвестных до одного. Разрежем раму по вертикальному диаметру АВ (рис. 6.30, а), т.е. по оси симметрии. В сечениях поперечные силы равны нулю. Рама одновременно симметрична относительно линии действия сил. Поэтому Обозначим момент через

В итоге получаем эквивалентную систему, представленную на рис. 6.30, б.

Рис. 6.30

В сечении с угловой координатой момент от заданных сил Р будет Момент единичного силового фактора равен Определяем коэффициенты канонического уравнения

Тогда

Изгибающий момент в произвольном сеченжи равен алгебраической сумме момента от заданных сил и момента увеличенного в раз.

В итоге

Согласно этому выражению, на рассматриваемой четверти окружности может быть построена эпюра изгибающего момента, которую затем по условиям симметрии можно распространить и на другие участки окружности (рис. 6.31). Наибольший изгибающий момент возникает в точках приложения сил Р и равен

Рис. 6.31

Пример 6.6. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру моментов для рамы, показанной на рис. 6.32, а.

Рис. 6.32

Рама геометрически кососимметрична. Разрезаем ее в центре симметрии и прикладываем в сечении три неизвестных силовых фактора (рис. 6.32, б). Строим все четыре эпюры моментов (одну - от заданных сил и три - от единичных силовых факторов). Сопоставляя эти эпюры (рис. 6.33), убеждаемся, что Следовательно, система трех канонических уравнений принимает вид

откуда

Далее, перемножая эпюры, находим

Рис.

Рис.

Суммарная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 6.34.

Рассмотрим еще один пример, не относящийся к свойствам симметрии, но наглядно иллюстрирующий значение правильно выбранной основной системы при раскрытии статической неопределимости.

Пример 6.7. Раскрыть статическую неопределимость стержня постоянного сечения, расположенного на десяти равноотстоящих одна от другой опорах (рис. 6.35, а).

В данном случае (и не только в данном, но и вообще для многопролетного стержня) удобно образовать основную систему, врезая на опорах

Рис. 6.35

шарниры и вводя в качестве неизвестных так называемые опорные моменты (рис. 6.35, б). Таких моментов будет восемь.

Построим эпюры от заданного и от единичных моментов (рис. 6.35, в-д). Эпюры от единичных моментов представляют собой треугольники, расположенные лишь на смежных с опорой пролетах, а эпюра от внешних сил изображается треугольником на первом пролете.

Составим систему из восьми уравнений. В первом уравнении отличными от нуля будут следующие коэффициенты:

Во втором уравнении также обратятся в нуль все коэффициенты, кроме трех:

и т. д. В итоге после сокращений система уравнений примет вид

Мы получили систему уравнений трехдиагональной структуры. Термин не требует разъяснений, и говорит сам за себя. Вообще, диагональные матрицы (таблицы) коэффициентов при раскрытии статической неопределимости получаются для систем, имеющих однотипные, повторяющиеся элементы. Такими элементами в данном случае являются пролеты многоопорного стержня. В более сложных задачах системы уравнений могут получиться не только трех-, но и пяти-, семи- или девятидиагональными. Эти системы обладают относительной простотой и особенно удобны (при большом числе неизвестных) для машинного счета. Именно поэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанные на предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрами) на множество однотипных элементов, наделенных определенными свойствами. Условия совместной деформации элементов записывают с таким расчетом, чтобы матрица обладала диагональными свойствами. Это позволяет получить на машине решение даже при числе неизвестных, измеряемом тысячами.

В рассматриваемом примере система уравнений приобрела диагональную структуру в результате рационального выбора основной системы.

Понятно, что рассматриваемый пример особенно прост. Коэффициенты вдоль диагоналей остаются неизменными, поскольку расстояние между опорами неизменно и жесткость пролетов одна и та же. Но основная простота - именно в диагональной, или ленточной, структуре уравнений. Эго приятное следствие такого выбора расчетной схемы было подмечено давно. Для многопролетного стержня уравнения можно обобщить на случай различных длин пролетов и произвольной нагрузки. Такого рода уравнения называются уравнениями трех моментов и еще в недавнем прошлом возводились даже в ранг “теоремы о трех моментах”. Лишь относительно недавно, в связи с развитием машинной техники, была осознана общность подхода, далеко выходящая за рамки методов раскрытия статической неопределимости систем.

Но вернемся к уравнениям. Положим, что , где А и а - неопределенные величины, не зависящие от индекса

Легко заметить, что при таком предположении будут удовлетворены все уравнения, кроме первого и последнего, если только

Определим корни этого уравнения:

Теперь построим более общее выражение:

Опять удовлетворены все промежуточные уравнения. Но теперь мы располагаем двумя константами А и В, которые можно подобрать так, чтобы были удовлетворены первое и последнее уравнения.

Подставляя в первое уравнение подучим

Пусть крайняя правая опора имеет индекс Перепишем последнее уравнение нашей системы в виде

откуда

Решал совместно оба уравнения, получим

Таким образом,

Но так как

Решение получено для любого числа опор. В данном случае мы имеем 10 опор и Подставляя значения легко обнаружить, что изгибающие моменты на опорах с увеличением индекса т.е. при счете слева направо, имеют чередующиеся знаки и быстро убывают по абсолютной величине. Момент примерно в четыре раза меньше момента М. На предпоследней опоре он оказывается равным Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 6.36.

Рис. 6.36