13.2. Определение критических нагрузок

Чтобы более наглядно показать особенности подхода, который обычно используют при анализе устойчивости упругих систем, рассмотрим для начала простейшую механическую модель.

На конце жесткого стержня (перевернутого маятника, показанного на рис. 13.5) укреплен груз Р. Внизу стержень имеет шарнир и удерживается в вертикальном положении упругой пружиной, имеющей линейную характеристику. Это значит, что при повороте стержня на угол в шарнире возникает момент, равный где с - жесткость пружины.

Рис. 13.5

Эта модель, обладая предельной простотой, сохраняет в себе все основные свойства, характерные для более сложных задач, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Можно предположить, что при достаточно большой силе Р или достаточно большой высоте расположения груза положение равновесия обращенного маятника станет неустойчивым; при малом отклонении стержня от вертикали пружина не сможет восстановить исходное состояние равновесия.

В основе анализа устойчивости упругих систем лежит определение условий существования соседних форм равновесия. Сообщим системе возмущение, т.е. примем, что маятник отклонился от вертикали на некоторый угол (рис. 13.5, 6). По какой причине это произошло, не имеет никакого значения.

Приравняв момент силы Р шарнирному моменту, получим

Построим график зависимости (рис. 13.6). Прежде всего мы видим, что при уравнение (13.1) справедливо при любых значениях силы Р. Значит, ось ординат принадлежит исследуемому графику. Остальные ветви кривой определяются выражением

которое будет верным, пока пружина сохраняет линейность характеристики. При значениях кратных график терпит разрыв, и происходит смена знака Р через бесконечность. Оно и понятно. Когда угол поворота маятника приближается к плечо силы уменьшается до нуля, а сама сила должна неограниченно возрастать (рис. 13.7). Если маятник протолкнуть через мертвую точку, то для того чтобы удержать его в новом положении равновесия, следует приложить силу обратного знака.

Рис. 13.6

Рис. 13.7

Теперь обратимся к вопросу, какие точки на построечных кривых отражают устойчивые и какие - неустойчивые положения равновесия.

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума полной потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на

вершине выпуклости или на седловине (рис. 13.8), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам, - конечно, с учетом потенциальной энергии деформации.

Рис. 13.8

В нашем случае полная потенциальная энергия системы Э состоит из двух слагаемых: из потенциальной энергии груза (см. рис. 13.5) и потенциальной энергии деформации пружины - Таким образом,

Дифференцируя это выражение по , получим

Если приравнять производную нулю, то мы придем к уравнению равновесия (13.1), на основе которого построены кривые, показанные на рис. 13.6. Значит, положение равновесия определяется экстремумом потенциальной энергии. Остается только решить, какие точки на построенных кривых соответствуют максимуму, а какие - минимуму потенциальной энергии.

После второго дифференцирования получаем условие минимума (условие устойчивости) в виде следующего неравенства:

Сначала рассмотрим вертикальное положение маятника Условие устойчивости выполняется при . При

силе, большей вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат, расположенные ниже точки бифуркации А, отражают устойчивое положение равновесия, а выше - неустойчивое.

При условие устойчивости (13.2) удобно преобразовать с учетом уравнения равновесия (13.1). Исключив силу Р, получим

Легко установить, что на участке от до это условие выполняется. Следовательно, ветвь кривой расположенная внутри этого интервала, отражает устойчивые положения равновесия и достижении силои критического значения происходит переход из неустойчивого вертикального положения к новому, устойчивому положению с отклоненной от вертикали осью. Другие ветви, показанные на рис. 13.6, в свою очередь также имеют участки как устойчивого, так и неустойчивого положения равновесия.

Вернемся к уравнению (13.1). Если угол считать малым, то и тогда мы приходим к линеаризованному уравнению

Очевидно, это уравнение всегда имеет тривиальное решение означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении Р. Имеется и второе решение: если то Следовательно, линеаризованное уравнение (13.3) дает ту же самую точку бифуркации А, которую мы нашли из нелинейного уравнения (13.1). Но важно подчеркнуть, что линеаризованное уравнение не содержит никакой информации о конечных перемещениях системы при

Если задачу решать в малых перемещениях, а это, как мы увидим в дальнейшем, существенно упрощает дело, то мы можем определить критическую силу, но не сами величины перемещения.

Для исследования закритического поведения системы необходимо применять нелинейные соотношения.