7.2. Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке

Если дано шесть компонент напряженного состояния: в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.

Из напряженного тела (см. рис. 7.1) еще раз выделим в окрестности точки А элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис. 7.4). Три грани выделенного элемента лежат в координатных плоскостях системы Четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами нормали к секущей плоскости.

Рис. 7.4

Элементарный четырехгранник обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку А, и в пределе все его грани проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматриваем как напряжения в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированных площадках.

На рис. 7.4 штрихами показаны составляющие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке спроецируем на оси Обозначим эти проекции через X, Y и Z соответственно. Если эти три величины найдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальная и касательные составляющие на произвольной площадке.

Площадь треугольника обозначим через площади треугольников и - соответственно через Очевидно,

где и - направляющие косинусы нормали

Проецируя все силы, действующие на элемент, последовательно на оси х, у и z, получим

или в соответствии с соотношениями (7.2)

Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами проекции X, Y и Z можно выразить через шесть исходных компонент Иными словами, напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами.

При помощи формул (7.3) легко определить вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали по сих пор.

Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, опрепеляемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простое геометрическое толкование, и его обычно задают матрицей (таблицей), написанной, например, в виде

где каждое число представляет собой значение и т. д. в соответствии с расположением коэффициентов в трех уравнениях (7.3), т. е. и т. д.

Если взамен исходной системы выбрать новую систему, компоненты тензора изменятся, т. е. значения будут иными, однако сам тензор напряженного состояния останется тем же. Сказанное можно легко пояснить на примере вектора, показанного на рис. 7.6.

Рис. 7.6

Вектор может быть определен матрицей, членами которой являются координаты конца вектора:

Если перейти к системе (см. рис. 7.6), то для того же вектора получим

Компоненты вектора., как видим, изменились, но сам вектор остался неизменным.

Остановимся более подробно на некоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат.