1.4. Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы

Во всех рассмотренных до сих пор задачах нормальные силы в поперечных сечениях стержня определяли при помощи метода сечений из условий равновесия отсеченной части. Но такое нахождение нормальных сил, да и вообще внутренних сил, далеко не всегда возможно. На практике постоянно встречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, и для определения внутренних сил уравнений статики оказывается недостаточно. Такие системы называются статически неопределимыми.

Рис. 1.12

На рис. 1.12, а показан обычный кронштейн, состоящий из двух стержней. Усилия в стержнях легко определить из условий равновесия узла А. Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 1.12, б), то усилия в

стержнях прежним способом уже найдены быть не могут: для узла А может быть по-прежнему составлено только два уравнения равновесия, а число неизвестных сил равно трем. В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Усложняя конструкцию дальше и вводя новые стержни, можно получить два (рис. 1.12, в), три и т.д. раза статически неопределимые системы. На рис. 1.13 показано еще три системы. Первая из них статически определимая, вторая и третья - соответственно один и два раза статически неопределимые.

Рис. 1.13

Для всех вариантов конструкций, показанных на рис. 1.13, можно получить только два независимых уравнения равновесия. Для варианта а этих уравнений достаточно, чтобы однозначно определить силы в двух стержнях; для вариантов б и в число сил в стержнях больше числа уравнений, поэтому определить три (случай б) или четыре (случай в) силы из двух уравнений невозможно. В теоретической механике подобные задачи определенного решения не имеют, в то время как это наиболее распространненый случай в технике.

Если стержни, например в варианте в, прикрепить к динамометрам, то при нагружении силой Р они покажут, какие силы в них возникли. Причем сколько бы раз стержни не нагружали силой Р, возникающие в них силы будут одни и те же. Определить их в так называемых статически неопределимых задачах можно только с учетом реальных свойств элементов конструкций. В этом принципиальное отличие теоретической механики от сопротивления материалов. Учет реальных свойств материалов позволяет рассчитывать любые конструкции, когда число связей в системе превышает число независимых уравнений статики.

Можно сказать, что под раз статически неопределимой системой понимается такая, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на единиц. Определение всех неизвестных сил, или, как говорят, раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и условно называются уравнениями перемещений. Для стержневых систем, показанных на рис. 1.12, уравнения перемещений должны выразить тот факт, что узел А деформированной системы должен быть общим для всех стержней. В примере, показанном на рис. 1.13, уравнения перемещений в случае, если брус АВ - жесткий, должны показать, что все нижние концы тяг после нагружения остаются на одной прямой и т.п.

Рассмотрим принципы составления уравнений перемещений на простейших примерах раскрытия статической неопределимости систем.

Пример 1.5. Прямой однородный стержень (рис. 1.14) жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определить наибольшие напряжения, возникающие в стержне.

Рис. 1.14

Система, очевидно, один раз статически неопределима, поскольку две реакции опор не могут быть определены из одного уравнения равновесия

Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на столько же сократится нижняя. Следовательно, Выражая удлинения через силы, получим

или

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим: Наибольшее напряжение

Пример 1.6. Система трех стержней одинаковых сечений (рис. 1.15, а) нагружена вертикальной силой Р. Определить усилия в стержнях.

Рис. 1.15

При составлении уравнений равновесия узла А (рис. 1.15, 6) воспользуемся принципом неизменности начальных размеров. Поскольку под действием силы Р угол а меняется незначительно, будем считать его неизменным. Тогда имеем

Полученных уравнений недостаточно для определения всех сил. Необходимо составить дополнительно одно уравнение перемещений. Для этого сопоставим форму узла Л до и после нагружения (рис. 1.15, а). Отрезок представляет собой вертикальное перемещение узла А. Оно равно, очевидно, удлинению среднего стержня: точки А проводим дугу окружности АВ с центром в точке С. Отрезок . В представляет собой удлинение бокового стержня:

Вследствие малости перемещений дугу АВ можно принять за отрезок, перпендикулярный прямой и тогда, учитывая, что угол а в результате удлинений стержней меняется незначительно, получим

Это и есть искомое уравнение перемещений. Выразим удлинения через силы: тогда

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, получим

Пример 1.7. Жесткая невесомая балка шарнирно закреплена в точке О и связана с двумя одинаковыми упругими тягами (рис. 1.16, а). Определить усилия, возникающие в тягах, при нагреве их на

Рис. 1.16

Разрезаем тяги и вводим силы (рис. 1.16, б). Далее, приравнивая нулю сумму моментов сил относительно шарнира О, получим

Положим, далее, что в результате нагрева стержней жесткая балка повернется и займет положение АВ (см. рис. 1.16, б). Из подобия треугольников получаем или, согласно формуле

откуда

Решая полученное уравнение совместно с уравнением равновесия, найдем

Знак минус перед указывает на то, что первый стержень не растянут, как это предполагалось ранее, а сжат.

Пример 1.8. При сборке стержневой системы (рис. 1.17, а) было обнаружено несоответствие длин стержней (см. узел А). Сборка была произведена путем принудительного совмещения шарниров А и С. Определить усилия в стержнях после сборки.

Рис. 1.17

Имеем пять стержней и, следовательно, пять искомых сил. Для узлов А к В может быть составлено четыре уравнения равновесия, по два на каждый узел. Следовательно, система один раз статически неопределима. Из условий равновесия узлов А и В (рис. 1.17, б и в) получаем

Положим, что после сборки шарнир А сместился вниз на величину ил и занял положение , а шарнир В сместился вверх на Тогда, очевидно,

Удлинение среднего стержня

Исключая из этих выражений получим уравнение перемещений

Преобразуем это уравнение, выразив удлинения через силы,

После совместного решения уравнения перемещении с уравнениями равновесия получим

Рассмотренные примеры уже дают достаточное представление о принципиальной стороне приемов, используемых при раскрытии статической неопределимости. Прочное овладение этими приемами может быть достигнуто при решении достаточно большого числа задач.

Более общий метод раскрытия статической неопределимости будет рассмотрен в гл. 6.

В заключение необходимо обратить внимание на два последних примера. В одном определялись температурные, а в другом - монтажные усилия. И те и другие могут возникать только в статически неопределимых системах, и это достаточно очевидно. Температурные и монтажные деформации принимаются в расчет только при составлении уравнений деформаций. А для статически определимых систем в этих уравнениях нет никакой надобности.