9.2. Определение перемещений и напряжений в толстостенном цилиндре

Рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом а и внешним 6 (рис. 9.5). Для общности будем полагать, что цилиндр нагружен одновременно и внутренним давлением и внешним . В дальнейшем, принимая либо можно будет проанализировать отдельно случаи действия только внутреннего и только внешнего давления. При этом надо еще учесть, что если цилиндр имеет днище (рис. 9.6, а), то в нем возникает

Рис. 9.5

Рис. 9.6

осевая растягивающая сила, равная

Осевое напряжение будет следующим:

Длину цилиндра при этом предполагают достаточно большой для того, чтобы можно было считать, что напряжение распределено по поперечному сечению равномерно и что удерживающее влияние днищ на радиальные перемещения цилиндра ничтожно мало.

Кроме указанного, рассмотрим случай, когда как, например, для цилиндра, показанного на рис. 9.6, б.

Возвращаясь к формулам (9.7), определяем постоянные А и Б из следующих граничных условий: при при т.е.

откуда

В итоге вместо (9.7) и (9.8) получаем

Наличие осевого напряжения сказывается только на радиальном перемещении и. В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то, согласно выражениям (9.9) и (9.11), получаем

Если осевая сила отсутствует, то

Теперь рассмотрим два частных случая.

Цилиндр нагружен внутренним давлением. В этом случае Формула (9.10) принимает вид

На рис. 9.7 показаны эпюры изменения радиального и окружного напряжений по толщине цилиндра при нагружении внутренним давлением. Окружное напряжение, как и следовало

Рис. 9.7

ожидать, является растягивающим, а радиальное - сжимающим. У внутренней поверхности достигает наибольшего значения:

Радиальное напряжение при этом равно

Согласно теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствия осевой силы, т.е. при

или

Проследим, как изменяются напряжения по мере уменьшения толщины цилиндра. Примем где - толщина цилиндра. Тогда

При малом значении

Радиальное напряжение внутренней поверхности равно а у внешней - нулю, независимо от толщины цилиндра. Таким образом, мы видим, что для цилиндра с малой толщиной стенки окружные напряжения распределены по толщине почти равномерно, а радиальные - малы по сравнению с окружными в той же мере, в какой толщина мала по сравнению с радиусом.

Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нем при неизменном давлении уменьшаются, но не беспредельно. Рассмотрим случай, когда т. е. когда цилиндр имеет бесконечно большую толщину. Тогда выражение (9.14) принимает вид

Рис. 9.8

Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис. 9.8), и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. Далее, напряжения, как видим, находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса . Если принять, например, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Существенно, что при этом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура. Если все точки внешнего контура удалены от оси внутреннего отверстия более, чем на 4а, то форма внешнего контура оказывает влияния на распределение напряжений. Расчет упругих тел, таких, например, как на рис. 9.9, сводится, очевидно, к схеме цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки.

Рис. 9.9

Эквивалентное напряжение, согласно выражению (9.15), при будет равно

Следовательно, если, например, предел упругости материала равен то при бесконечно большой толщине цилиндра деформации будут упругими при давлении, не превышающем . О том, какие возможности имеются для обеспечения прочности при более высоких давлениях, мы скажем несколько позже.

Цилиндр нагружен внешним давлением. В этом случае Выражение (9.10) принимает вид

Эпюры напряжений по толщине цилиндра для этого случая нагружения представлены на рис. 9.10. Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхности цилиндра. При отсутствии осевой силы

или

Это выражение совпадает с тем, которое было получено для случая внутреннего давления.

Рис. 9.10

Если внутреннее отверстие отсутствует, т. е. то напряжения в цилиндре распределены равномерно:

Пример 9.1. Подобрать размер внешнего диаметра 2 4 цилиндра, предназначенного для удержания внутреннего давления при условии двукратного коэффициента запаса. Предел текучести материала егт.р Внутрений диаметр задан: см.

Наиболее опасными являются точки, расположенные у внутренней поверхности цилиндра. Согласно формулам (9.9) и (9.14), получаем

Очевидно, Отсюда После подстановки числовых значений находим см.