7.3. Главные оси и главные напряжения

Выразим через X, Y и Z нормальное напряжение в наклонной площадке. Очевидно, или, согласно выражениям (7.3),

Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каждой площадке отложим отрезок (рис. 7.7). Координаты конца этого вектора будут следующими:

Рис. 7.7

Исключая из выражения направляющие косинусы получим геометрическое место точек концов вектора:

Теперь решим, в какой зависимости от откладывать абсолютную величину отрезка г. Обычно такой вопрос решают из условий наглядности геометрического образа. В данном

же случае, не стремясь к наглядности, а исключительно в целях простоты полученного выражения примем формально, что

где к - произвольная постоянная, отражающая масштаб построения. Тогда

Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это означает, что в каждой точке напряженного тела существует такая система в которой касательные напряжения туг, равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, анормальные напряжения на них - главными напряжениями. В порядке возрастания эти напряжения обозначают через

Если в окрестности исследуемой точки элементарный объем выделен главными площадками, то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается (рис. 7.8). Существенно упрощаются также выражения (7.3), они принимают вид

Так как

то

Этому соотношению можно дать не только простое, но на этот раз и наглядное толкование. Величины X, Y, Z можно рассматривать как координаты конца вектора полного напряжения возникающего на произвольно ориентированной

Рис. 7.8

Рис. 7.9

площадке. Геометрическое место концов вектора полного напряжения образует эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения (рис. 7.9). Полученный эллипсоид носит название эллипсоида напряжений.

Из этого геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных полных напряжений на множестве площадок, проходящих через исследуемую точку. Наименьшее же из главных напряжений будет наименьшим среди множества возможных полных напряжений.

В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела вращения. Тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения, становится главной. В случае, когда равны не два, а все три главных напряжения, эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными.

Перейдем теперь к определению главных напряжений по заданным шести компонентам напряженного состояния в произвольной системе Возвращаясь к рис. 7.5 и соотношениям (7.3), положим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали Обозначим его через :

Соотношения (7.3) примут теперь вид

или

Их можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных определяющих ориентацию главной площадки в исходной системе Полученная система является однородной. Вместе с тем она должна давать для ненулевое решение, так как направляющие косинусы не могут быть все одновременно равны нулю, поскольку

Для того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела решение, отличное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

Достигается это надлежащим выбором величины Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравнений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую систему, достаточную для нахождения определяющих положение главных площадок. Эту часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдем к определению главных напряжений из уравнения (7.7).

Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням , получим следующее кубическое уравнение:

в котором

Можно показать, что все три корня уравнения (7.8) являются вещественными. Они дают три значения главных напряжений

Понятно, что главные напряжения, т.е. корни уравнения (7.8), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, какая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей коэффициенты уравнения (7.8) должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния.

В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Например, если то один из корней уравнения (7.8) также равен нулю. В этом случае говорят, что напряженное состояние является двухосным, или плоским. В частности, уже знакомое нам напряженное состояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого

Если одновременно равны нулю второй и третий инварианты, т.е. то уравнение (7.8) имеет два нулевых корня и только одно из главных напряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. С ним мы уже встречались при изучении вопросов растяжения, сжатия и чистого изгиба.

Рассмотрим некоторые примеры определения главных напряжений.

Пример 7.2. Определить главные напряжения в случае, если все компоненты напряженного состояния равны между собой (рис. 7.10, а).

Рис. 7.10

Рис. 7.11

Согласно выражениям (7.8) к (7.9), имеем: Следовательно, заданное напряженное состояние представляет собой одноосное растяжение.

Полученному результату можно дать простое объяснение, если учесть, что элемент может быть выделен из растянутого стержня любым образом. Очевидно, если три сехущие площадки равнонаклонены к оси растянутого стержня, в гранях элемента как раз и возникают равные составляющие напряженного состояния (рис. 7.11).

Поскольку при изменении ориентации секущих площадок напряженное состояние не меняется, полученное решение может быть представлено в виде символического равенства (см. рис. 7.10).

Пример 7.3. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния (рис. 7.12, а)

Рис. 7.12

Согласно выражениям (7.9), получаем . Тогда Подбором определяем один из корней. Это будет Разделив левую часть уравнения на сводим уравнение к квадратному и определяем остальные два корня. В итоге получаем . Следовательно, напряженное состояние является трехосным (рис. 7.12, в).

Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взаимно перпендикулярных площадок,

обладающих тем замечательным свойством, что касательные напряжения в них равны нулю, и назвали эти площадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными и интересными особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем.

Рис. 7.13

Положим, что оси х, у и z - главные и (рис. 7.13). Тогда выражения (7.3) примут вид

Найдем касательное напряжение в этой площадке:

где - полное, а - нормальное напряжения в той же площадке. Очевидно, что

Подставляя и в выражение (7.10) и учитывая, что получим

Как видим, - величина существенно положительная и на главных площадках, как и положено, обращается в нуль.

Действительно, если нормаль совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, и тогда

Для дальнейшего нам потребуются выражения для напряжений в так называемых октаэдрических площадках, т.е. в площадках, равнонаклоненных к главным. Для таких площадок и тогда мы получим

Таким образом, нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему арифметическому трех главных напряжений.

Особый интерес представляют площадки, в которых возникают наибольшие касательные напряжения. Положение этих площадок можно определить, отыскивая экстремум выражения (7.11) при условии, что Но этих выкладок мы делать не будем, ибо о результате можно догадаться сразу. Заметим, что

и, поскольку квадрат суммы не меньше суммы квадратов,

Значит, при равенстве второе слагаемое в выражении (7.11) будет не меньше суммы двух остальных. Если мы хотим, чтобы величина достигла наибольшего значения, то, подбирая мы должны, очевидно, максимально увеличить произведение за счет Но это будет достигнуто при и тогда произведение величин при условии, что их сумма равна единице, будет наибольшим, если Таким образом,

Так как то максимальное касательное напряжение возникает в площадках, равнонаклоненных к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений.