В5. Перемещения и деформации

Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму (деформируются). Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных инструментов.

Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец - в соответствующей точке деформированного, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на оси координат носят название перемещений по осям. Они обозначаются через и соответственно осям х, у и z (рис. В17).

Рис. В17

Кроме линейного перемещения, введем понятие углового перемещения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы тела, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота также характеризуется вектором, который может быть разложен по осям

Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то система называется кинематически неизменяемой. Именно такие системы и рассматривают, как правило, в сопротивлении материалов. В противном случае из перемещений всех точек исключают слагающую переноса тела как абсолютно жесткого и сохраняют ту часть, которая характеризует только изменение формы. Тогда для большинства рассматриваемых в сопротивлении материалов систем перемещения и любой точки являются малыми по сравнению с геометрическими размерами тела.

На основе малости перемещений в сопротивлении материалов в методику анализа внутренних сил вводят упрощения,

носящие принципиальный характер. Одно из них носит название принципа начальных размеров. Согласно этому принципу, при составлении уравнений статики (уравнений равновесия) тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения внешними силами.

Так, если в точке А системы, показанной на рис. В18, а, приложить некоторую силу Р, то канат АВ удлинится, стержень несколько укоротится, да и вообще система изменится (рис. В18, б). Для определения внутренних сил в канате и стержне надо воспользоваться методом сечений и составить уравнения равновесия для отсеченного деформированного узла А (рис. В18, в). Здесь, однако, возникает затруднение, связанное с тем, что новые геометрические размеры системы остаются неизвестными, пока не определены внутренние силы, зависящие, в свою очередь, от геометрических размеров. При малых перемещениях указанным обстоятельством можно пренебречь, поскольку деформированная система мало отличается от недеформированной. В этом случае в соответствии с принципом начальных размеров уравнения равновесия составляют для недеформированного узла (рис. В18, г), и тогда

Рис. В18

Понятно, что изложенный принцип нельзя применять в случае больших перемещений. Кроме того, принцип начальных размеров может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если при этом форма системы меняется качественно. Например, для двух шарнирно связанных стержней,

расположенных на одной прямой, условия равновесия узла А (рис. В19) следует составлять обязательно с учетом угла наклона а, возникающего вследствие удлинения стержней.

Рис. В19

Системы подобного рода называются мгновенными механизмами. Это означает, что в какой-то момент система является кинематически изменяемой, т.е. допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями. В данном случае кинематическая изменяемость имеет место в окрестности исходного положения, в котором три шарнира находятся на одной прямой отличие от мгновенногб о ычныихи низм обладает кинематической изменяемостью независимо от взаимного расположения составляющих элементов.

Особый класс задач, где, по существу, необходимо отступить от принципа начальных размеров, образуют задачи устойчивости, приведенные в гл. 13.

Для того чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расположенные одна относительно другой на расстоянии (рис. В20). Пусть в результате изменения формы тела это расстояние увеличится на Отношение приращения длины отрезка к его начальной длине назовем средним

Рис. В20

удлинением на отрезке а: Будем, далее, уменьшать отрезок приближая точку В к точке А. В пределе получим

величина называется линейной деформацией (или просто деформацией) в точке А по направлению В той же точке в другом направлении деформация, вообще говоря, будет другой. Если рассматривают деформации в направлении координатных осей в обозначение вводятся соответствующие индексы. Тогда имеем

Следует подчеркнуть, что слово “деформация” имеет двоякий смысл. В обиходном языке под деформацией понимается вообще всякое изменение формы без количественной оценки. В сопротивлении материалов и в теории упругости деформация имеет данное выше строгое определение и является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности точки. Деформация является безразмерной величиной (ее измеряют также в процентах по отношению к Поскольку форма тела меняется незначительно, деформации также имеют малую величину. Для конструкционных материалов, в частности, деформации лежат в пределах долей процента.

Кроме линейной деформации введем понятие угловой деформации. Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле двумя отрезками и (см. рис. В20). После нагружения тела внешними силами этот угол изменится и станет равным Будем уменьшать отрезки и приближая точки С и к точке О и оставляя при этом угол прямым. Предел разности углов и

называется угловой деформацией, или углом сдвига в точке О в плоскости В координатных плоскостях углы сдвига обозначают через

Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для

одной точки образует деформированное состояние в точке. Деформированное состояние, так же как и напряженное состояние, определяется шестью числовыми величинами. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 7.

Рис. В21

Следует четко различать понятия деформации и перемещения и не допускать довольно распространенной ошибки, когда абсолютное удлинение стержня или осадку витой пружины называют деформацией. Это - не деформации, а перемещения. Заметим также, что если какой-то участок стержня перемещается, то это вовсе не значит, что он деформируется. Наглядный тому пример показан на рис. В21. Участок стержня получает перемещения вследствие деформации участка но сам не деформируется.