В6. Закон Гука и принцип независимости действия сил

Многочисленные наблюдения за поведением твердых тел показывают, что в большинстве случаев перемещения в определенных пределах пропорциональны действующим силам.

Эта закономерность была дана Гуком в 1660 г. в формулировке “каково удлинение, такова сила”, что по латыни звучало “ut tensio sic vis”. Но закон был опубликован только в 1676 г. в виде анаграммы “ceiiinosssttuv”. Так выглядела приоритетная заявка того времени.

Если рассмотреть перемещение произвольно взятой точки А (см. рис. В17) по некоторому направлению, например по оси х, то

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение , а - коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

Очевидно, этот коэффициент зависит как от физических свойств материала, так и от взаимного расположения точки А и точки приложения силы и вообще от геометрических особенностей системы. Таким образом, выражение (В 12) следует рассматривать как закон Гука для системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и деформацией, а не между силой и перемещением. При этом устанавливаются линейные зависимости, свойственные состоянию материала в точке.

Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физические константы материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом. Закон, таким образом, выражает свойства самого материала. На основе такой формулировки закона Гука могут быть получены линейные зависимости типа (В12) между перемещениями и силами для конкретных систем. Физические константы материала будут введены в последующих главах при рассмотрении частных случаев напряженного и деформированного состояний. В обобщенной трактовке закон Гука будет сформулирован в гл. 7. Пока же для выявления основных свойств напряженных тел ограничимся рассмотрением соотношения (В12), типичного для подавляющего большинства систем.

Заметим сразу, что принятая линейная зависимость между перемещениями и силами сохраняется как при возрастании, так и при убывании сил и предопределяет, следовательно, упругие свойства системы. Это же подтверждается и опытом, который показывает, что в случае указанной линейной зависимости твердое тело полностью восстанавливает свои первоначальные размеры и форму после устранения внешних сил.

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, называются линейными и подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил. В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются не зависящими от порядка приложения внешних сил: если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения,

перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы.

Положим, что к некоторой системе приложена сила Перемещение, которое вызовет эта сила в произвольной точке А по направлению, например, оси х, будет, согласно выражению (В12), следующим:

Примем теперь, что сила снята и в некоторой другой точке упругого тела приложена сила Перемещение, которое вызовет эта сила в точке А, будет таким:

Коэффициенты пропорциональности будут различными, поскольку силы приложены в разных точках тела. Рассмотрим теперь совместное действие сил Приложим сначала силу а затем, не снимая ее, силу Тогда перемещение, которое получит точка А, можно представить следующим выражением:

Коэффициент будет тем же, что и в формуле (В13), поскольку силу прикладывали к ненагруженной системе. Коэффициент же в отличие от формулы (В 14), помечен штрихом, так как силу прикладывали не к свободной системе, а к системе, предварительно нагруженной силой

Если коэффициенты различны, то следует признать, что зависит от силы Но это противоречит принятому предположению о линейной зависимости перемещений от действующих сил. Следовательно, от сил не зависит. Выражение (В15) при должно переходить в выражение (В 14). Поэтому и тогда

Таким образом, перемещение определяется как сумма результатов независимых действий сил Если изменить

порядок приложения сил, то можно путем аналогичных рассуждений прийти к тому же выражению (В15). Следовательно, результат действия сил не зависит от порядка их приложения. Это положение легко обобщается и на случай любого числа сил.

Итак, в основе принципа независимости действия сил лежит предположение о линейной зависимости между перемещениями и силами, а также связанное с ним предположение об ббратимости процессов нагрузки и разгрузки. Системы, не подчиняющиеся изложенному в предыдущем параграфе принципу начальных размеров, обнаруживают нелинейные зависимости между силами и перемещениями, поэтому к таким системам неприменим также и принцип независимости действия сил (см., например, систему, представленную на рис. В19). Вместе с тем не всякая система, подчиняющаяся принципу начальных размеров, будет подчиняться и принципу независимости действия сил. Если при малых перемещениях сами свойства материала таковы, что перемещения зависят от сил нелинейно, то такая система, подчиняясь первому принципу, не подчиняется второму. Принцип независимости действия сил является основным при решении большинства линейных задач сопротивления материалов.