6.3. Канонические уравнения метода сил

Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим систему, представленную на рис. 6.12. Тем, что рассматривается конкретная семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.

Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через обозначать взаимное смещение точек системы. Первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй - силе, вызвавшей это перемещение.

В рассматриваемой раме в точке А отброшена опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:

Рис.

Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы , а индекс показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать:

Так как под величиной , понимается взаимное смещение точек, то обозначает вертикальное смещение точки В относительно - горизонтальное взаимное смещение тех же точек, - взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением в рассматриваемой системе будет также .

В точках А и смещения являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.

Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений

Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы, указанной в первом индексе, и под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку

каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, можно записать в следующем виде:

Что касается перемещений то под Р в индексе будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной. Поэтому величины в уравнениях оставим неизменными. Теперь уравнения примут вид

Эти уравнения носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. Как увидим далее, в случаях, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1). Если то

Следовательно, коэффициент есть перемещение по направлению силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего фактор. Например, коэффициент уравнения (6.2) представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек В и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 6.13). Если, например, вместо сил приложить единичные силы, а все прочие силы снять (рис. 6.14), то

Рис. 6.13

Рис. 6.14

угол поворота в сечении под действием этих сил будет горизонтальное перемещение в точке А будет и т.д.

Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено вообще к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.

Обратимся к интегралам Мора (см. § 5.3). Для того чтобы определить следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую фактор. Поэтому внутренние моменты и силы в выражении (5.8) заменим на понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного фактора. В итоге получим

где - внутренние моменты и силы, возникающие под действием единичного фактора. Таким образом, коэффициенты можно получить как результат перемножения внутренних единичных силовых факторов. Индексы и к непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом

Верещагина, то представляет собой результат перемножения единичных эпюр на единичные эпюры.

Очевидно, что Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений (6.3), а с другой - из теоремы взаимности перемещений (см. § 5.6), поскольку перемещения возникают под действием одной и той же силы, равной единице.

Величины входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе. Они определяются перемножением эпюры заданных сил на соответствующие единичные эпюры.

Еще раз напомним, что в подавляющем большинстве случаев перемещения, связанные с изгибом и кручением элементов рамы, значительно превышают перемещения растяжения и сдвига. Поэтому в выражении (6.3) последними тремя интегралами, как правило, можно пренебречь (см. § 5.1).

Пример 6.1. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.15.

Рис. 6.15

Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывал левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами ? и моментом (рис. 6.16). Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:

Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы Р и от трех единичных силовых факторов (см. рис. 6.16).

Рис.

Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна, и равна Величину определяем перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берем, следовательно, площадь эпюры и умножаем на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:

Заметим, что перемещения при всегда положительны, поскольку площади эпюры и ординаты имеют общий знак.

Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая соответствующие эпюры:

Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем

Решая эти уравнения, находим

Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.

Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в раза. Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 6.17. Там же показана форма изогнутой оси рамы.

Рис. 6.17

Рис. 6.18

Пример 6.2. Определить усилия в стержнях статически неопределимой фермы (рис. 6.18, а). Жесткости всех стержней одинаковы. Длины стержней равны I или в соответствии с рисунком.

Ферма два раза статически неопределима: один раз внешним и один раз внутренним образом. Выбираем основную систему, заменяя правую шарнирную опору катком и разрезая стержень 5 (рис. 6.18, б). Канонические уравнения имеют вид

Определяем коэффициенты этих уравнений. Стержни работают на растяжение и сжатие, поэтому перемещения 6, будут определяться нормальными силами, возникающими в стержнях. Так как по длине каждого стержня нормальная сила не меняется, то построение эпюр становится излишним, и мы просто составим табл. 6.1 для усилий, возникающих в стержнях от сил Р и от первой и второй единичных сил. Определение сил проводим из условий равновесия узлов. Далее, учитывая, что

где - длина стержня с номером вычисляем значения для произведений и результаты снова сводим в табл. 6.1. Затеи, суммируя по

(кликните для просмотра скана)

столбцам таблицы, находим

Канонические уравнения принимают вид

откуда

Теперь, чтобы найти усилия в каждом из стержней, надо к силе добавить силы увеличенные соответственно в раза.

Результаты этой операции приведены в последнем столбце табл. 6.1.

Пример 6.3. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы (рис. 6.19, а). Точки А и В рамы связаны между собой податливым стержнем с жесткостью на растяжение

Рис. 6.19

Система один раз статически неопределима. Разрезая стержень АВ в верхней точке, получаем основную систему (рис. 6.19, 6). Строим, далее, эпюры моментов от заданной силы Р и от единичной силы (рис. 6.19, в и г). Кроме того, на участке где необходимо учесть растяжение, строим эпюру нормальной силы Вычисляем коэффициенты канонического уравнения

проводя перемножение не только эпюр изгибающих моментов, но и растягивающей силы:

Определяем

Как видим, усилие в стержне зависит от отношения жесткости рамы на изгиб к жесткости стержня АВ на растяжение. Если жесткость стержня АВ очень велика, то и стержень воспринимает половину силы Р. Бели стержень АВ очень податлив, то и вся сила Р воспринимается рамой.

Рис. 6.20

На рис. 6.20 представлена эпюра изгибающих моментов в раме и форма ее изогнутой оси.