11.6. Основы теории пластичности

До сих пор мы имели дело с простейшими видами напряженных состояний. Мы рассматривали либо одноосное растяжение или сжатие, либо чистый сдвиг. При этом характеристика материала для соответствующего напряженного состояния

считалась заданной, и в этих условиях решение задачи не встречало принципиальных трудностей.

Если перейти к более сложным задачам, то прежде всего возникает вопрос, как при других напряженных состояниях связать аналитически напряжения и деформации, а главное, как по результатам испытания образца на растяжение перейти к зависимостям сложного напряженного состояния.

В пределах упругих деформаций этот вопрос решить сравнительно просто.

При растяжении справедлив закон Гука в простейшей форме:

Для сложного напряженного состояния имеем линейные соотношения обобщенного закона Гука:

Условия перехода из упругого состояния в пластическое могут быть определены по критерию пластичности. Как мы уже знаем, в настоящее время имеется несколько критериев перехода из упругого состояния в пластическое. Наиболее приемлемыми являются: теория Мора, вытекающая из нее в частном случае гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения. Наиболее удобной для нахождения соотношений пластичности является последняя. По этой гипотезе переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

называемая интенсивностью напряжений, достигает предела текучести.

В упругом состоянии интенсивность напряжений может быть выражена при помощи соотношений (11.24) через деформации. Тогда после преобразований получаем

Обозначим

и будем называть эту величину интенсивностью деформаций.

Для упругого состояния справедливо следующее соотношение:

Это выражение можно рассматривать как одну из форм обобщенного закона Гука.

Теперь надо решить, как будет выражаться связь между компонентами напряжений и деформаций в пластическом состоянии. Определение этих соотношений и решение на их основе ряда задач механики сплошных сред составляют содержание теории пластичности.

Зависимости между компонентами напряжений и деформаций в зоне пластичности должны быть, очевидно, построены так, чтобы при упругих деформациях искомые соотношения переходили в соотношения (11.24). Но этого мало. Нужно, чтобы из тех же выражений как следствие вытекал принятый ранее критерий пластичности, т.е. в данном случае критерий энергии формоизменения. Тогда искомые соотношения пластичности будут представлять собой логическое расширение установленных ранее закономерностей.

Для законов пластичности удобно избрать ту же форму написания, что и для законов упругости. Так, вместо того чтобы

писать , где есть функция, заданная графически диаграммой растяжения, можно написать

где Е рассматривается как функция деформации е. Из диаграммы растяжения (рис. 11.38) видно, что ст/е. При упругих деформациях (см. рис. 11.38).

Рис. 11.38

При переходе к сложному напряженному состоянию весьма заманчиво выглядит перспектива обобщить таким же образом и соотношение (11.27), приняв

где снова рассматривается как переменная величина, а соотношение (11.29) сохраняется единым для всех видов напряженного состояния.

При упругих деформациях выражение (11.29) принимает вид (11.27). Переход же упругого состояния в пластическое характеризуется равенством

Согласно выражению (11.25), мы приходим, таким образом, к гипотезе энергии формоизменения. Многочисленные эксперименты, поставленные для проверки высказанного предложения, показали, что оно является правильным для весьма широкого класса задач.

Таким образом, было установлено, что вид функции (11.29) определяется в основном свойствами материала и почти не зависит от типа напряженного состояния. Это положение является первым (исходным) положением теории пластичности.

Вторым положением теории пластичности является условие, что изменение объема

остается чисто упругим. Это хорошо согласуется с экспериментами. При всех достижимых для современной техники давлениях не удалось с помощью всестороннего сжатия вызвать в материале пластические деформации.

При деформировании материала пластические деформации, как правило, заметно больше упругих. Так как является величиной того же порядка, что и упругие удлинения, то обычно принимают, что при пластическом деформировании объем меняется незначительно. Тогда при выводе формул, связывающих компоненты напряжений и деформаций в пластической зоне, принимают

Теперь составим искомые соотношения. Прежде всего отметим, что при одноосном растяжении, когда

интенсивность напряжений и интенсивность деформаций обращаются соответственно в а и е. Значит, выражение (11.29) переходит в (11.28), а это есть аналитическое выражение кривой обычной диаграммы растяжения. Но, согласно первому положению теории пластичности, зависимость (11.29) едина для всех напряженных состояний. Следовательно, она ничем не отличается от обычной зависимости, задаваемой диаграммой растяжения. Надо только откладывать по осям не а и (рис. 11.39). Тогда

т. е. мы получаем величину переменного модуля.

Рис. 11.39

Теперь аналогично выражениям (11.24) выписываем соотношения пластичности:

где с учетом того, что т. е.

Приведенные соотношения пластичности не являются совершенно точными и считаются верными по крайней мере для тех видов нагружения, при которых внешние силы в процессе нагружения возрастают пропорционально некоторому параметру, например времени. В этом случае, как можно показать, главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление. Такой вид деформации носит название простой деформации, а нагружение - простого нагружения.

Рассмотрим примеры решения некоторых задач, для которых необходимо применение аппарата теории пластичности.

Пример 11.11. Дана диаграмма растяжения Построить соответствующую ей диаграмму сдвига

Диаграмму сдвига можно получить либо из прямого испытания на кручение, либо же перестройкой диаграммы растяжения при помощи соотношений пластичности.

Обратимся к формулам (11.25) и (11.26). Для растяжения . При сдвиге, полагая находим Но зависимость едина для всех напряженных состояний. Поэтому зависимости одинаковы. Перестройка диаграммы заключается, следовательно, в простой замене на - на . Чтобы получить диаграмму сдвига, нужно в каждой точке диаграммы растяжения ординату уменьшить в раз, а абсциссу во столько же раз увеличить (рис. 11.40).

Рис. 11.40

Рис. 11.41

Пример 11.12. Определить увеличение диаметра цилиндрического бака (рис. 11.41, а) в зависимости от давления Диаграмма растяжения материала задана (рис. 11.41, б); .

Меридиальное и окружное напряжения в стенках цилиндра равны

Согласно формулам (11.30),

Увеличение диаметра

По формуле (11.25) находим

Построим теперь зависимость от давления Задаваясь давлением вычислим а по диаграмме испытания находим Затем из

Рис. 11.42

выражения (11.31) определяем и по точкам строим искомую зависимость (рис. 11.42).

Полученное решение справедливо в пределах небольших пренебрежимо малых по сравнению с диаметром . В противном случае в выражениях для необходимо было бы учитывать изменение диаметра.

Пример 11.13. Для определения силы ударной волны, возникающей при взрыве, часто применяют тонкие свинцовые мембраны (рис. 11.43). Под действием давления мембрана получает остаточный прогиб, по величине которого и судят о силе волны. Требуется определить зависимость прогиба такой мембраны от давления.

Решим задачу приближенно, полагая, что напряжения распределены по толщине мембраны равномерно и что форма изогнутой мембраны близка к сферической поверхности. Такое предположение, не сказываясь сильно на количественных результатах, значительно упрощает решение.

Рис. 11.43

Рис. 11.44

Обозначим через радиус кривизны сферической поверхности, а через а - половину центрального угла сегмента (рис. 11.44). Очевидно, , или, вследствие малости где а - радиус мембраны.

Прогиб мембраны Окружное и меридиональное напряжения в мембране

Наконец, удлинения в мембране можно определить по разности длины дуги и хорды

Теперь обратимся к соотношениям пластичности (11.30). Примем Тогда

откуда

Подставляя в третье выражение (11.30), находим

Подставляем в выражение интенсивности деформаций (11.26). Тогда Но поэтому или, согласно выражению (11.33),

Наконец, выражение с учетом того, что приводим к виду

Порядок построения искомой зависимости выглядит следующим образом. Задаемся прогибом По формуле (11.34) находим Далее, по диаграмме растяжения определяем а по формуле (11.35) находим давление соответствующее принятому прогибу. Так по точкам строим искомую зависимость.

Пример 11.14. Отожженную проволоку протягивают через коническое сужающееся отверстие (фильеру). В результате диаметр проволоки меняется с размера на (рис. 11.45). Пренебрегая трением и считая угол конусности малым, определить, во сколько раз при указанной схеме вытяжки можно уменьшить диаметр проволоки. Материал обладает свойством идеальной пластичности.

Рис. 11.45

Рис. 11.46

Обозначим через текущий диаметр, а через - контактное давление и составим уравнение равновесия для элемента проволоки длиной (рис. 11.46):

где а - половина угла при вершине конуса. После преобразований получим

Так как материал обладает идеальной пластичностью, то интенсивность напряженного состояния постоянна и равна . Но в данном случае . Поэтому, согласно выражению (11.25), получаем , а так как , то уравнение равновесия примет вид

Интегрируя, получим

Постоянную С подбираем из условия, что при входе в фильеру, т. е. при напряжение Тогда получим

Напряжение на вытягиваемом участке

Но не может быть больше иначе этот участок будет продолжать удлиняться и сужаться, поэтому

Естественно, что упрочнение материала и учет сил трения могут заметно изменить эту оценку.