11.4. Кручение стержня круглого поперечного сечения при наличии пластических деформаций

Для исследования деформации стержня в условиях упругопластического кручения необходимо располагать диаграммой сдвига материала, т.е. зависимостью угла сдвига от напряжения (рис. 11.26). Будем считать, что такая диаграмма у нас имеется. Она может быть получена путем испытания на кручение тонкостенных трубок. В дальнейшем мы покажем, что эта диаграмма может быть определена путем перестройки обычной диаграммы растяжения

Рис. 11.26

Принимая, как и при обычном кручении, гипотезу плоских сечений, получим

(см. формулу Крутящий момент в сечении равен

Введем в это выражение взамен радиуса переменное согласно (11.18). Тогда

где

Рис. 11.27

Интеграл в выражении (11.19) представляет собой не что иное, как момент инерции криволинейного треугольника (рис. 11.27, а) относительно оси т. Для заданной диаграммы он может быть заранее определен как функция (рис. 11.27, б).

Теперь легко по точкам построить зависимость удельного угла закручивания в от момента

Задаваясь значением в, определяем, согласно выражению (11.20), а затем с помощью графика значение интеграла Затем по формуле (11.19) находим Таким образом, мы определили одну точку зависимости в от Повторяя эту операцию несколько раз, получаем полную кривую При малых значениях момента, когда кривую

нельзя построить точно, следует воспользоваться обычной линейной зависимостью в пределах закона Гука

Все последующие операции по определению закона распределения напряжений в поперечном сечении стержня, а также по нахождению остаточных напряжений и остаточных углов совершенно аналогичны тем, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе для изгиба стержня. Поэтому, здесь эти операции повторять не будем, а проиллюстрируем их на конкретном примере.

Пример 11.6. Вити цилиндрически пружиня (рис. 11.28, а) сжимается до полной посадки витков (рис. 11.28, б). Требуется определить шаг пружины после разгрузки, если до нагрузки он был равен мм. Размеры пружины следующие: . Модуль сдвига Диаграмма сдвига материала задана кривой, показанной на рис. 11.28, в.

Рис. 11.28

Осадка пружины на один виток равна Но где - длина витка, равная Таким образом,

Отсюда определяем угол закручивания в, который возникает в проволоке при посадке витков:

Находим, далее, Откладываем на диаграмме сдвига (см. рис. 11.28, в) и путем разбиения на площадки определяем момент инерции треугольника относительно оси . В результате подсчетов получаем

По формуле (11.19) находим крутящий момент

По формуле (11.21) определяем угол закручивания при упругих деформациях

Теперь, согласно выражению (11.22), находим упругую “отдачу” пружины после разгрузки

Искомый шаг пружины мм.

Для полноты картины определим закон распределения остаточных напряжений в поперечном сечении пружины (рис. 11.29, а). Для этого построим сначала эпюру напряжений при нагрузке. Согласно выражению (11.18), угол сдвига на расстоянии от центра круга равен Задаваясь несколькими значениями по точкам определяем напряжение и строим эпюру, показанную на рис. 11.29, б. Из нее вычитаем напряжения, определенные по формуле упругой разгрузки,

Рис. 11.29

Разность между напряжениями нагрузки и разгрузки дает значение остаточных напряжении (рис. 11.29, а).