Глава 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ

5.1. Потенциальная энергия стержня в общем случае нагружения

Выше определялись перемещения прямого стержня при растяжении, кручении и изгибе. Рассмотрим теперь общий случай нагружения, когда в поперечных сечениях могут возникать нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты одновременно. Кроме того, расширим круг рассматриваемых вопросов, полагая, что стержень может быть не только прямым, но и криволинейным или состоять из ряда участков, образующих плоскую или пространственную систему.

Решение поставленной задачи необходимо не только для нахождения самих перемещений и оценки жесткости конструкции. На основе определения перемещений созданы общие методы определения внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах, о чем будет сказано в следующей главе.

Наиболее просто перемещения можно найти при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня.

Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Этот анализ проводят, как известно, при помощи метода сечений с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо, - также эпюр нормальных и поперечных сил.

Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии стержня. Силовой фактор откладывают по нормали к оси, как это показано, например, на рис. 5.1. Для пространственного стержня осевую линию вычерчивают обычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изображают в соответствующих плоскостях изгиба (рис. 5.2). Эпюру крутящих моментов не связывают с какой-либо определенной плоскостью и в отличие от эпюры изгибающих моментов штрихуют винтовой линией.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Для определения потенциальной энергии выделим из стержня элементарный участок длиной (рис. 5.3). Стержень может быть не только прямым, но и иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента и три силы. По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке стержня.

Рис. 5.3

Левое сечение элемента (см. рис. 5.3) условно будем рассматривать как неподвижное, с тем чтобы работа всех силовых факторов, приложенных к левому торцу, была равна нулю. Точка приведения сил в правом сечении вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения, на которых совершается искомая работа. Очень важно, что каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает. Так, под действием момента возникает угол поворота сечения относительно оси На этом угловом перемещении работа совершается только этим моментом Линейное перемещение вдоль оси у возникает вследствие действия силы и только эта сила совершает работу на этом перемещении. Следовательно, потенциальную энергию элемента можно рассматривать как сумму независимых работ каждого из шести силовых факторов, т. е., иначе говоря, как сумму

энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига:

Естественно, такое разделение работ возможно лишь при определенном выборе осей. В частности, точка приведения сил должна совпадать с центром тяжести сечения. Иначе нормальная сила вызовет поворот сечения, и изгибающие моменты совершат работу на угловом перемещении, вызванном этой силой. Оси х и у должны быть главными. В противном случае момент вызовет поворот сечения относительно оси у, и будет произведена взаимная работа на угловых перемещениях, вызванных двумя изгибающими моментами.

Выражения для первых четырех слагаемых нам уже известны:

Остается найти энергию сдвига .

Рис. 5.4

Для определения рассмотрим элементарную призму с площадью основания и длиной (рис. 5.4). Энергия, заключенная в этом объеме, равна где - удельная потенциальная энергия при сдвиге. Согласно выражению

Таким образом, Интегрируя по площади находим . Но, согласно формуле Журавского (см. § 4.3), Следовательно,

Обозначим

Тогда

Аналогично получим

Рис. 5.5

Коэффициенты представляют собой безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения. Например, для прямоугольного сечения с размерами (рис. 5.5) статический момент заштрихованной площади относительно оси х равен . Далее Производя преобразования, по формуле (5.2) получаем Для сплошного круглого сечения Для тонкостенного кругового профиля

Выражение (5.1) теперь принимает вид

Чтобы получить потенциальную энергию всего стержня, это выражение следует проинтегрировать по длине:

Если конструкция сложная и состоит из нескольких элементов, имеющих форму стержня, то после интегрирования в пределах каждого стержня должно быть произведено суммирование энергии по числу составляющих элементов.

В выражении (5.3) не всегда все слагаемые являются равноценными. Для подавляющего большинства встречающихся на практике систем, где составляющие элементы работают на изгиб или кручение, три последних слагаемых в выражении (5.3) оказываются существенно меньшими трех первых. Иначе говоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, существенно меньше энергии изгиба и кручения.

Рис. 5.6

Вместе с тем возможны такие случаи, в которых рассматриваемые слагаемые оказываются величинами одного порядка. Например, для нецентрально-растянутого стержня, показанного на рис. 5.6, энергия растяжения и энергия изгиба являются

Рис. 5.7

величинами одного порядка. При нагружении пластины, склеенной из двух металлических листов с пенопластовым заполнителем (рис. 5.7), энергия сдвига в заполнителе может оказаться соизмеримой с энергией изгиба.