3.2. Моменты инерции сечения

В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла:

где по-прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки в произвольно взятой системе координат хОу (см. рис. 3.1). Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей Измеряют моменты инерции в или

Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадь Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей х, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Для этого снова обратимся к рис. 3.2. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей Требуется определить моменты инерции относительно осей

Подставляя сюда находим

Раскрывая скобки, имеем, согласно обозначениям (3.1) и (3.5),

Если оси - центральные, то и полученные выражения упрощаются:

Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей - центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Из первых двух формул (3.7) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси или Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются, и величины следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к центральным - вычитать.

Рис. 3.5

При определении центробежного момента инерции по последней из формул (3.7) следует учитывать знак величин а и Можно, однако, и сразу установить, как изменяется значение при параллельном переносе осей. Для этого следует иметь в виду, что сечения, находящиеся в I и III квадрантах системы координат (рис. 3.5), имеют положительные, а сечения, находящиеся в II и IV квадрантах, - отрицательные значения центробежного момента. Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать знак слагаемого в соответствии с тем, какие из четырех площадей увеличиваются, а какие - уменьшаются. Например, если от центральных осей (см. рис. 3.5) следует перейти к осям то видно, что в результате такого переноса резко возрастает площадь IV квадранта, следовательно, момент инерции уменьшается, и произведение из момента следует вычесть.

Приведем примеры определения моментов инерции простейших сечений относительно характерных осей.

Пример 3.3. Найти момент инерции прямоугольника с основанием и высотой к относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Момент инерции относительно оси равен

Воспользовавшись формулой переноса (3.7), найдем момент инерции относительно центральной оси:

Пример 3.4. Найти момент инерции рассмотренного ранее треугольника (см. рис. 3.3) относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию.

Чтобы не повторять выкладок, вернемся к выражению (3.4) для статического момента треугольника и заменим величину стоящую под знаком интеграла, на Тогда

Используя формулу переноса (3.7), запишем момент инерции относительно центральной оси рис. 3.3):

Пример 3.5. Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно осей, совпадающих с его катетами (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Выделим элемент площади , полагая величину неизменной, найдем центробежный момент полоски

Но

поэтому

Проинтегрируем это выражение по от нуля до А:

Перейдем к центральной системе координат рис. 3.7), При переходе к этим осям увеличиваются площади во II и IV квадрантах, дающие отрицательные значения центробежного момента. Следовательно, согласно формуле переноса (3.7), момент уменьшиться на произведение

Центробежный момент инерции относительно осей х, у оказался, как видим, отрицательным.