Глава 4. ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях стержня при изгибе

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты (см. § ВЗ). Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силы отсутствуют, изгиб называется чистым. Большей частью, однако, в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают также поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным. Виды изгиба классифицируют и по другим признакам; некоторые из них будут рассмотрены в дальнейшем.

Для того чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связанных с расчетом стержня на изгиб, необходимо, прежде всего, научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Рассмотрим некоторые характерные примеры и установим необходимые правила.

На рис. 4.1, а показан простейший двухопорный стержень, нагруженный силой Р. Напомним еще раз, что показанная система, как и все, которые мы рассматривали до сих пор и будем рассматривать в дальнейшем, получена как результат операций, связанных с выбором расчетной схемы (см. § В2). К анализу схемы двухопорного стержня сводится расчет очень многих машиностроительных конструкций, например балки мостового крана, показанной на рис. 4.2.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Анализ внутренних сил начинают обычно с определения полной системы внешних сил. В данном случае необходимо определить реакции опор. Из условий равновесия находим реакции (см. рис. 4.1):

На расстоянии z от левой опоры проведем сечение С (рис. 4.1, б) и разделим стержень мысленно на две части. Для того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении С необходимо приложить силу и момент М. Эти силовые факторы можно определить из условий равновесия одной из частей стержня. В § ВЗ было показано, что значение силы не зависит от того, рассматриваем мы условия равновесия правой или левой части стержня (рис. 4.1, в). В данном случае удобнее рассматривать левую часть.

Если взять сумму моментов всех сил, действующих на левую часть стержня относительно центральной поперечной оси в сечении С, и приравнять эту сумму нулю, то получим

Если бы слева от сечения С действовали не одна, а несколько сил, изгибающий момент М в сечении определялся бы суммой моментов этих сил. Таким образом, изгибающий момент в сечении можно рассматривать как сумму моментов относительно поперечной оси сечения всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения. В дальнейшем, для того чтобы избежать громоздких рисунков, иллюстрирующих равновесие отсеченных частей стержня, изгибающий момент будем определять именно так.

Рис. 4.3

Знак изгибающего момента устанавливают по знаку кривизны изогнутого стержня (рис. 4.3) в зависимости от выбранного направления осей внешней неподвижной системы координат Если ось у (см. рис. 4.3) направить в обратную сторону, то знак кривизны, а следовательно и момента, изменится на обратный. Этим правилом знаков пользуются при определении перемещении стержня и формы изогнутой оси.

При построении эпюр изгибающих моментов используют другое правило знаков (правило относительных знаков), при котором знак момента не зависит от направления внешних осей. Эпюру моментов строят на оси стержня и ординату момента откладывают в сторону вогнутости упругой линии, т.е. эпюру моментов строят, как говорят, на сжатом волокне. Этому правилу можно дать и другое толкование.

Если сумма моментов сил, действующих на левую часть стержня, дает равнодействующий момент, направленный по часовой стрелке, то ординату изгибающего момента в сечении откладывают вверх. Если же равнодействующий внешний момент слева от сечения направлен против часовой стрелки, то ординату изгибающего момента откладывают вниз.

Для сил, лежащих справа от сечения, имеет место обратная зависимость: в случае равнодействующего момента, направленного по часовой стрелке, ординату изгибающего момента откладывают вниз, а в случае равнодействующего момента, направленного против часовой стрелки, - вверх. Сказанное иллюстрирует схема, представленная на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Возвращаясь к рассматриваемому примеру двухопорного стержня замечаем, что момент силы расположенной слева от сечения С, направлен по часовой стрелке. Следовательно, в сечении С ординату изгибающего момента нужно откладывать вверх.

В пределах изменения от 0 до а изгибающий момент

Рассмотрим теперь правый участок, где изменяется от а до (см. рис. 4.1). Изгибающий момент в сечении С удобнее рассматривать как сумму моментов внешних сил, лежащих

справа от сечения. Очевидно,

Ординату момента следует откладывать вверх, так как момент внешней силы, лежащей справа от сечения С, направлен против часовой стрелки.

В соответствии с полученными выражениями для изгибающих моментов может быть построена эпюра, показанная на рис. 4.5. Эпюра является кусочно-линейной и на всей длине стержня расположена сверху. Это значит, что ось изогнутой балки, называемая упругой линией, всюду направлена вогнутой стороной вверх, что в данном случае достаточно очевидно.

Рис. 4.5

Определим поперечные силы Из условия равновесия левой или правой части разрезанного в точке стержня (рис. 4.1) следует, что

Во всех случаях поперечная сила для прямого стержня равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. Отсюда можно установить правило знаков для поперечной силы. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, а если вниз - отрицательной. Для сил, расположенных справа от сечения, наоборот, если равнодействующая внешних сил направлена вверх, то поперечная

сила в сечении считается отрицательной, а если вниз - положительной. Это правило иллюстрирует схема, показанная на рис. 4.6.

Рис. 4.6

В рассматриваемом случае двухопорной балки сила лежащая слева от сечения С, направлена вверх. Следовательно,

Для правого участка балки сила расположенная справа от сечения направлена вверх. Следовательно, на этом участке поперечная сила отрицательна:

Эпюра поперечных сил в рассматриваемом двухопорном стержне изобразится двумя прямоугольниками (см. рис. 4.5).

Рассмотрим еще несколько примеров построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Двухопорный стержень длиной нагружен равномерно распределенными силами собственного веса стержня.

Определим реакции опор. Очевидно,

На рис. 4.7 эти силы показаны условно на основном рисунке. Строго говоря, их следовало бы изобразить на отдельном рисунке стержня с отброшенными внешними связями, поскольку эти силы заменяют действие связей. В предыдущем примере (см. рис. 4.1) именно так и было сделано. Однако обычно

Рис. 4.7

для упрощения прибегают к условному изображению реакций, как это и показано в рассматриваемом примере.

Сумма моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения, например по левую, равна

где - момент силы - направлен по часовой стрелке (знак - сила собственного веса на длине z. Ее равнодействующая проходит через середину отрезка . Следовательно, плечо силы равно а момент этой силы, расположенной слева от сечения С, направлен против часовой стрелки (знак Таким образом,

Эпюра изгибающего момента изображается параболой, показанной на рис. 4.7. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в среднем сечении пролета при

Поперечная сила в сечении С равна сумме сил, лежащих по одну сторону от сечения:

Эпюра поперечной силы изображается прямой.

На рис. 4.8 показано построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил на примере стержня, защемленного одним концом. Такого рода стержни называются консолями. В данном случае с правой стороны на стержень не наложены связи, и изгибающие моменты и поперечные силы в любом сечении могут быть найдены без предварительного определения реакций.

Рис. 4.8

В среднем сечении консоли через крестовину передается момент пары сил. В результате на эпюре изгибающих моментов возникает скачок. При переходе через сечение С сумма моментов сил, расположенных по правую или левую сторону от сечения, изменяется на величину

Рассматривая все построенные выше эпюры, нетрудно установить определенную закономерную связь между эпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Судя по виду эпюр, поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента М по координате z, направленной по длине стержня. Докажем, что эта закономерность действительно имеет место.

Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой Принятое направление для будем считать положительным (рис. 4.9).

Выделим из стержня элемент длиной проведенных сечениях приложим моменты М и а также поперечные силы и Направления для этих силовых

факторов приняты положительными в соответствии с обусловленным выше правилом знаков. В пределах малого отрезка нагрузку можно считать равномерно распределенной.

Рис. 4.9

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов относительно поперечной оси С (см. рис. 4.9):

После упрощения и отбрасывания величины высшего порядка малости, получим

Уравнения равновесия (4.1) можно получить из уравнений если принять: Кроме того, так как рассматриваемый стержень прямолинейный, то

Из соотношений (4.1) можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

Если стержень нагружен только равномерно распределенной нагрузкой очевидно, функция будет линейной, квадратичной. Это можно было наблюдать на примере эпюр, показанных на рис. 4.7.

Если стержень нагружен только сосредоточенными силами или моментами, то в промежутках между точками их приложения . Следовательно, а М является линейной функцией . В точках приложения сосредоточенных сил эпюра претерпевает скачок на величину внешней силы, а в эпюре М возникает соответствующий излом (разрыв производной).