4.7. Стержень на упругом основании

Расчетная схема стержня на упругом основании является достаточно универсальной и позволяет предложить экономные способы решения многих задач.

Представим себе прямой стержень, опирающийся на множество часто расположенных, не связанных между собою пружин или каких-либо других упругих элементов (рис. 4.47).

Рис. 4.47

Если к стержню приложены внешние силы, то со стороны пружин возникают реакции, каждая из которых пропорциональна местному прогибу. Так как расстояние между пружинами невелико, целесообразно представить реакции в виде распределенных сил, интенсивность которых пропорциональна прогибу:

где коэффициент пропорциональности, зависящий от жесткости пружин и частоты их расстановки. Знак указывает на то, что реакции направлены в сторону, противоположную прогибу.

Подходя к аналогичным системам с более общих позиций, можно вообще представить пружинные опоры как некоторую сплошную упругую среду, обладающую тем свойством, что возникающие с ее стороны реакции подчиняются соотношению (4.22) независимо от физических и конструктивных особенностей основания. Стержень, расположенный на такого рода сплошной деформируемой среде, носит название стержня на упругом основании. Коэффициент называется коэффциентом упругого основания.

В инженерной практике такая расчетная схема получила широкое распространение и используется при анализе многих конструкций. Правда, соотношение (4.22) не всегда соблюдается, но часто его можно рассматривать как приближенное. Так, оно является почти точным в рассмотренном выше случае большого числа не связанных упругих опор. Оно будет также точным для плавающего стержня прямоугольного сечения (рис. 4.48, а). Здесь реакция со стороны жидкости в каждом сечении пропорциональна глубине погружения стержня. В то же время для шпалы (рис. 4.48, й), лежащей на упругом грунте, соотношение (4.22) следует рассматривать как приближенное, поскольку реакция в каждом сечении зависит не только от местного прогиба, но и от осадки грунта в соседних точках.

Рис. 4.48

Для стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании (см. рис. 4.47, б), в первое уравнение системы (4.20) войдет еще одна распределенная нагрузка . С учетом направления и имеем

Для численного решения уравнения (4.21) число ненулевых элементов в матрице А никакой роли не играет. Для случая закрепления стержня, показанного на рис. 4.47, а, компоненты вектора Z должны удовлетворять следующим краевым условиям:

Рассмотрим частный случай, когда сечение стержня постоянно и постоянна изгибная жесткость Конечно, и в этом частном случае для решения можно воспользоваться численным методом, но можно получить и аналитическое решение.

Последовательно исключая из системы получаем уравнение четвертого порядка относительно у

где .

В уравнении (4.23) использовано наиболее распространенное обозначение у вместо для прогибов прямолинейного стержня, лежащего на упругом основании.

Решение уравнения (4.23) можно записать в виде

где у - частное решение неоднородного уравнения (4.23).

Во многих случаях более предпочтительной оказывается другая форма записи, которая получается из (4.24) простой перегруппировкой слагаемых:

где - гиперболические синус и косинус.

Если функция у определена, то, согласно выражениям (4.19), без труда можно определить изгибающие моменты и поперечные силы.

Пример 4.11. Деревянный стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.49) плавает на воде. К стержню в середине приложена сосредоточенная сила Р. Определить наибольший изгибающий момент в предположении, что сила Р не очень велика и стержень ею не затапливается.

Рис. 4.49

Если в каком-то сечении балка сместится вниз на расстояние у, давление со стороны воды увеличится на где у - плотность воды. Интенсивность сил реакции будет где - ширина прямоугольного сечения. Следовательно, , согласно выражению (4.23),

Собственный вес стержня уравновешивается реакцией жидкости, поэтому полагаем в уравнении Тогда под величиной у следует понимать смешение, отсчитываемое от равновесного положения стержня, которое тот занимает при

Так как получаем, согласно (4.25),

Последовательно дифференцируя это выражение, находим

Выберем начало отсчета z в точке приложения силы Р. При по условию симметрии поперечная сила справа от среднего сечения

равна Следовательно, при Таким образом, получаем четыре уравнения для определения констант

откуда

Изгибающий момент в стержне определяем через вторую производную функции у по формуле

или

Наибольший изгибающий момент имеет место при

С увеличением длины изгибающий момент растет, но не беспредельно. При очень большой длине где к определяем по формуле (4.26). Вид эпюры изгибающих моментов меняется в зависимости от длины

При малой длине эпюра имеет вид кривой, показанной на рис. 4.49. Для более длинной балки эпюра изгибающего момента меняет знак и принимает вид кривых, показанных на рис. 4.50.

Рис. 4.50