13.6. Энергетический метод определения критических нагрузок

Рассмотрим полную потенциальную энергию консервативной системы

где - потенциальная энергия упругой диформации стержня; П - потенциал внешних сил; А - работа внешних сил Потенциальная энергия стержня при изгибе в плоскости (частный случай выражения (5.3)) равна

Работа силы при потере устойчивости (стержень считается нерастяжимым) равна (рис. 13.20)

При малых отклонениях точек осевой линии стержня от оси z вертикальное перемещение точки приложения силы Р равно (см. рис. 13.20)

или, так как

Рис. 13.20

В результате получаем

В соответствии с принципом Лагранжа, состояние равновесия консервативной системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия в этом состоянии минимальна. Сформулированный принцип часто называют теоремой Лагранжа-Дирихле. Необходимое условие минимальности полной энергии заключается в том, что ее первая вариация равна нулю, т.е.

Первая вариация это аналог первой производной при исследовании функции на экстремум. Об устойчивости состояния равновесия, где выполняется условие (13.38), можно судить по знаку второй вариации Если то данное состояние равновесия устойчиво, если то состояние равновесия неустойчиво; и, наконец, при имеет место безразличное состояние равновесия.

Рассмотрим вначале простейший случай, когда приближенное выражение для прогиба у имеет вид

где - произвольный постоянный множитель; - функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи. Подставив у в выражение (13.37), получим

Первая вариация равна

Приняв получаем

Так как вариация параметра то из уравнения (13.39) следует

или

Например, для шарнирно закрепленного стержня (см. рис. 13.9, а), полагая из уравнения (13.39) получаем уже известное выражение для критической силы:

Следует подчеркнуть, что выражение (13.40) получено для стержня с переменным сечением. Приближенное значение критической силы (13.40) можно уточнить, взяв двучленное приближение для прогиба у:

где функция , так же как и функция должна удовлетворять граничным условиям. В этом случае

В результате имеем

Так как вариации независимы, то линейное соотношение может выполняться только тогда, когда

Здесь

Из условий (13.41) получаем систему, состоящую из двух алгебраических однородных уравнений относительно

где

Приравняв определитель системы (13.42) к нулю (чтобы получить нетривиальное решение), получим уравнение относительно Р. Наименьший корень этого квадратного уравнения есть уточненное значение критической силы.

Можно получить и более точное решение, представив в виде ряда

В этом случае

Из соотношения (13.44) получаем однородных алгебраических уравнений относительно аналогичных системе (13.42), а из условия равенства нулю определителя находим Наименьший корень есть критическая сила,

т.е.

Определим энергетическим методом критическую силу для случая, рассмотренного в примере 13.2. Поскольку сила приложена посередине длины стержня (см. рис. 13.15), интегрирование в знаменателе формулы (13.40) следует вести от 1/2 до , т.е.

Примем, что Тогда после интегрирования находим Точное решение равно

Рассмотренные примеры убеждают нас в том, что приближенным методом можно без особого труда получить достаточно точное значение критической силы.

Рассмотрим в заключение еще один пример.

Пример 13.6. Определить критическую силу для защемленного стержня, находящегося под действием собственного веса (рис. 13.21). Задаемся уравнением упругой линии изогнутого стержня в виде

Легко убедиться в том, что это выражение удовлетворяет граничным условиям.

Рис. 13.21

Определяем энергию изгиба:

Для того чтобы найти работу сил при переходе от прямолинейной формы к криволинейной, подсчитаем, согласно выражению (13.36), А (рис. 13.21):

Работа сил будет следующей:

Приравнивая эту работу энергии изгиба, находим

точное решение дает

Характерной особенностью энергетического метода является то, что ошибка в определении критических нагрузок всегда имеет один знак. Приближенное значение критической силы оказывается завышенным по сравнению с точным. Объясняется это тем, что, задаваясь приближенно формой упругой линии, мы как бы накладываем на систему лишние связи, заставляем ее деформироваться несвойственным ей образом и тем самым увеличиваем в среднем ее жесткость.