4.3. Напряжения при поперечном изгибе

Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Рис. 4.23

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изпб а поперечные сечешя не остаются плоскими. На рис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечных сечений.

Рис. 4.24

Рис. 4.25

Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при искривление всех сечений происходит одинаково (рис. 4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет

При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для а некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок по сравнению с единицей, где - размер поперечного сечения в плоскости изгиба; - длина стержня. По определению, данному в § В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, отношение относительно мало и соответственно малой оказывается указанная погрешность.

Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации 7 в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны.

Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и весьма малы.

Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.

Теперь определим приближенно касательные напряжения при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна, очевидно,

или, согласно формуле (4.6),

Рис. 4.26

где через обозначена в отличие от у текущая ордината площадки (см. рис. 4.26, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня Обозначим этот статический момент через Тогда

В правом сечении нормальная сила будет другой:

Разность этих сил

должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и в).

В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Тогда

откуда

Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные. Зависимость от у в сечении определяется через статический момент 5. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось центральная, то и здесь Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.

Рис. 4.27

Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и (рис. 4.27, а) имеем

Следовательно,

и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при

Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти

Кроме того,

откуда

и

Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой (рис. 4.27, в),

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной оси:

В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но и по оси х. Действительно, примем, как это делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение направлено по оси у. Разложим вектор на две составляющие - по нормали к контуру и по касательной По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные отсутствуют. Следовательно, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих по оси х. Для определения этих составляющих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели

Рис. 4.28

Рис. 4.29

рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у.

Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а для нетонкостенных сечений имеет значение порядка

Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем

откуда

Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый.

В связи с малостью ттах расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.

Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).

Рис. 4.30

Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рис. 4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно

Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами (рис. 4.31, б), стержень будет изгибаться как целый. В этом

случае наибольшее нормальное напряжение оказывается в раз меньше, т.е.

Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в раз большую, чем несвязанный.

Рис. 4.31

В поперечных сечениях болтов при изгибе стержня возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет в сечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутого стержня (сечение А - А на рис. 4.31, б). Эту силу в первом приближении можно определить из простого равенства сумм поперечных сил в сечениях болтов и продольной равнодействующей касательных напряжений в случае целого стержня

где - число болтов.

Интересно сопоставить изменение кривизны стержня в заделке в случае связанного и несвязанного пакетов. Согласно формуле (4.5), для связанного пакета

Для несвязанного пакета

Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы.

Таким образом, по сравнению с целым стержнем набор свободно сложенных листов оказывается в раз более гибким и только в раз менее прочным. Это различие в коэффициентах снижения жесткости и прочности при переходе к листовому пакету используют на практике при создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично восстанавливают касательные силы между слоями стержня, устраненные при переходе к листовому пакету. Рессоры нуждаются поэтому в смазке листов и их следует оберегать от загрязнения.

Заканчивая параграф о поперечном изгибе, приведем пример, иллюстрирующий последовательность расчета стержня на прочность при изгибе.

Пример 4.6. Подобрать размер а Т-образного поперечного сечения, показанного на рис. 4.32, для двухопорного стержня, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью Коэффициент запаса по пределу текучести должен быть не менее чем двукратный. Дано:

Рис. 4.32

Определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов (см. рис. 4.32). Расчетный изгибающий момент равен

Согласно условию прочности, откуда момент сопротивления

Рассматривая заданное сечение, определяем расстояние от оси до центра тяжести. Оно равно . Момент инерции относительно оси равен Переходя к центральной оси получаем Момент сопротивления откуда находим или см.