Главная > Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по беэмоментной теории

Рассмотрим симметричную оболочку толщиной (рис. 10.3). Обозначим через радиус кривизны дуги меридиана ее срединной поверхности, а через - второй главный радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между срединной поверхностью и осью симметрии (см. рис. 10.3, а) Радиусы являются в общем случае функцией угла нормалью и осью симметрии.

Рис. 10.3

Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (см. рис. 10.3, 6) выделим из оболочки элемент, представленный на рис. 10.4. Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения Первое будем называть меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение о назовем окружным. Напряжения умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы показанные на рис. 10.4. К этому же элементу приложена сила нормального давления Проектируя все силы на нормаль, получим

Рис. 10.4

Так как

то в итоге имеем

Это соотношение известно под названием уравнения Лапласа.

Для элемента, показанного на рис. 10.4, можно составить еще одно уравнение, проектируя все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать, однако, не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис. 10.5).

Обозначив через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим

Отсюда легко найти меридиональное напряжение ат. Таким образом, согласно безмоментной теории, напряжения в оболочке можно определить из уравнений равновесия.

Рис. 10.5

Третье главное напряжение - напряжение надавливания между слоями оболочки - предполагаем малым, и напряженное состояние оболочки считаем двухосным. Действительно, наибольшее значение радиального напряжения по абсолютной

величине равно нормальному давлению в то время как согласно уравнению Лапласа, имеют значения порядка

Прежде чем перейти к конкретным примерам расчета с использованием безмоментной теории, докажем две следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную к заданной оси.

Рис. 10.6

Положим, задана поверхность (рис. 10.6), на которую действует равномерно распределенное давление Требуется определить проекцию на ось х равнодействующей сил давления. Эта проекция будет, очевидно, равна

где — угол между нормалью к поверхности и осью х. Площадь проекции элемента на плоскость X, перпендикулярную к оси х, равна Следовательно,

Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующей сил давления на ось х, нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость X, а затем умножить давление на площадь этой проекции, что и требовалось доказать.

Теорема 10.2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости (рис. 10.7), то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью.

Рис. 10.7

Вертикальная составляющая сил давления для площадки согласно теореме 10.1, будет равна произведению давления, действующего на эту площадку, на проекцию площадки на уровень жидкости, т.е. Так как где - плотность жидкости, то вертикальная сила, действующая на площадку будет

Но - объем элементарной призмы, расположенной над площадкой Суммарная искомая сила будет, следовательно, равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью

Поясняя полученный результат, следует указать, что найденная сила не зависит от формы сосуда, удерживающего жидкость. Так, во всех трех случаях, представленных на рис. 10.8, сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же,

Рис. 10.8

равной весу жидкости в объеме вышерасположенного цилиндра

Рассмотрим некоторые примеры определения напряжений в тонкостенных сосудах.

Пример 10.1. Сферическая оболочка радиусом и толщиной находится под действием внутреннего давления (рис. 10.9, а). Определить напряжения, возникающие в оболочке.

Рис. 10.9

Для сферической оболочки условия полной симметрии следует Согласно формуле Лапласа (10.1), имеем

Напряженное состояние является двухосным (рис. 10.9, б), поэтому

Наименьшее напряжение принимаем равным нулю. По теории Мора, независимо от величины к,

Пример 10.2. Цилиндрический сосуд (рис. 10.10, а) находится под действием внутреннего давления Радиус цилиндра , толщина А. Определить напряжения.

Рис. 10.10

Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра (рис. 10.10, 6) и составляем для нее уравнение равновесия (10.2):

Осевая составляющая сил давления, независимо от формы днища, согласно теореме 10.1, будет равна Таким образом,

Для цилиндра Поэтому из формулы Лапласа (10.1) находим

т.е. окружное напряжение оказывается вдвое большим меридионального.

Элемент выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии (рис. 10.10, в):

Эквивалентное напряжение

Для цилиндра, как видим, эквивалентное напряжение оказывается в два раза большим, чем для сферической оболочки того же радиуса и той же толщины.

Пример 10.3. Полусферический сосуд радиусом и толщиной (рис. 10.11, а) заполнен жидкостью, плотность которой 7. Определить напряжение в сосуде и построить эпюры

Рис. 10.11

Нормальным коническим сечением с углом 2 при вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки (рис. 10.11, б) и составляем для нее уравнение равновесия (10.2), где Р - равнодействующая сила давления жидкости. Согласно теореме 10.2, сила Р равна весу жидкости в объеме, расположенном выше отсеченной части оболочки.

Введем вспомогательный угол и определим объем (см. рис. 10.11, б):

или

Таким образом, находим

Обращаемся теперь к уравнению Лапласа (10.1):

Подставляя от, находим из этого уравнения

Согласно выражениям (10.5) и (10.6), строим эпюры представленные на рис. 10.12. Как видим, напряжения в нижней точке сферы равны. В верхней точке имеет отрицательное значение. Там, где будут одного знака, имеем . Там, где имеют разные знаки,

Эпюра эквивалентного напряжения (см. рис. 10.12) имеет, таким образом, излом в точке, где меняет знак. Если расчетное напряжение для сосуда равно

где по-прежнему

Рис. 10.12

Наличие в верхней части сосуда напряжений сжатия является в данном случае вполне закономерным.

Меридиональное напряжение в зоне закрепления является, очевидно, растягивающим. Так как давление здесь мало, то равновесие выделенного элемента (рис. 10.13) возможно только при сжимающем окружном напряжении Если бы сосуд был закреплен в нижней части, то это явление не имело бы места, поскольку на верхней кромке равнялось бы нулю.

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Возникновение сжимающих напряжений при внутреннем давлении свойственно не только сферическому сосуду. Например, в цилиндрическом баке, заполненном жидкостью (рис. 10.14), в зоне перехода от цилиндрической части к днищу тахже могут возникать при определенных условиях сжимающие напряжения. Чтобы оболочка не теряла устойчивость, ее необходимо в этом месте укреплять.

Пример 10.4. Определить напряжения в торообразном баллоне, нагруженном внутренним давлением Размеры баллона даны на рис. 10.15, а.

Выделим сечениями, нормальными к поверхности, часть торообразной оболочки (рис. 10.15, 6). Составим для нее уравнение равновесия и определим

Обращаясь к уравнению Лапласа (10.1), получаем

Подставляя в уравнение (10.1), находим

Рис. 10.15

Наибольшее напряжение возникает во внутренних точках торообразной оболочки при

Так как напряжения имеют общий знак, то

В частном случае, при тор обращается в сферу и выражение (10.7) совпадает с выражением (10.3), полученным для сферы. При тор обращается в цилиндр. Тогда выражение (10.7) совпадает с выражением (10.4). При периметр внутреннего круга обращается в нуль и

1
Оглавление
email@scask.ru