10.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по беэмоментной теории

Рассмотрим симметричную оболочку толщиной (рис. 10.3). Обозначим через радиус кривизны дуги меридиана ее срединной поверхности, а через - второй главный радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между срединной поверхностью и осью симметрии (см. рис. 10.3, а) Радиусы являются в общем случае функцией угла нормалью и осью симметрии.

Рис. 10.3

Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (см. рис. 10.3, 6) выделим из оболочки элемент, представленный на рис. 10.4. Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения Первое будем называть меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение о назовем окружным. Напряжения умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы показанные на рис. 10.4. К этому же элементу приложена сила нормального давления Проектируя все силы на нормаль, получим

Рис. 10.4

Так как

то в итоге имеем

Это соотношение известно под названием уравнения Лапласа.

Для элемента, показанного на рис. 10.4, можно составить еще одно уравнение, проектируя все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать, однако, не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис. 10.5).

Обозначив через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим

Отсюда легко найти меридиональное напряжение ат. Таким образом, согласно безмоментной теории, напряжения в оболочке можно определить из уравнений равновесия.

Рис. 10.5

Третье главное напряжение - напряжение надавливания между слоями оболочки - предполагаем малым, и напряженное состояние оболочки считаем двухосным. Действительно, наибольшее значение радиального напряжения по абсолютной

величине равно нормальному давлению в то время как согласно уравнению Лапласа, имеют значения порядка

Прежде чем перейти к конкретным примерам расчета с использованием безмоментной теории, докажем две следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную к заданной оси.

Рис. 10.6

Положим, задана поверхность (рис. 10.6), на которую действует равномерно распределенное давление Требуется определить проекцию на ось х равнодействующей сил давления. Эта проекция будет, очевидно, равна

где — угол между нормалью к поверхности и осью х. Площадь проекции элемента на плоскость X, перпендикулярную к оси х, равна Следовательно,

Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующей сил давления на ось х, нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость X, а затем умножить давление на площадь этой проекции, что и требовалось доказать.

Теорема 10.2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости (рис. 10.7), то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью.

Рис. 10.7

Вертикальная составляющая сил давления для площадки согласно теореме 10.1, будет равна произведению давления, действующего на эту площадку, на проекцию площадки на уровень жидкости, т.е. Так как где - плотность жидкости, то вертикальная сила, действующая на площадку будет

Но - объем элементарной призмы, расположенной над площадкой Суммарная искомая сила будет, следовательно, равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью

Поясняя полученный результат, следует указать, что найденная сила не зависит от формы сосуда, удерживающего жидкость. Так, во всех трех случаях, представленных на рис. 10.8, сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же,

Рис. 10.8

равной весу жидкости в объеме вышерасположенного цилиндра

Рассмотрим некоторые примеры определения напряжений в тонкостенных сосудах.

Пример 10.1. Сферическая оболочка радиусом и толщиной находится под действием внутреннего давления (рис. 10.9, а). Определить напряжения, возникающие в оболочке.

Рис. 10.9

Для сферической оболочки условия полной симметрии следует Согласно формуле Лапласа (10.1), имеем

Напряженное состояние является двухосным (рис. 10.9, б), поэтому

Наименьшее напряжение принимаем равным нулю. По теории Мора, независимо от величины к,

Пример 10.2. Цилиндрический сосуд (рис. 10.10, а) находится под действием внутреннего давления Радиус цилиндра , толщина А. Определить напряжения.

Рис. 10.10

Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра (рис. 10.10, 6) и составляем для нее уравнение равновесия (10.2):

Осевая составляющая сил давления, независимо от формы днища, согласно теореме 10.1, будет равна Таким образом,

Для цилиндра Поэтому из формулы Лапласа (10.1) находим

т.е. окружное напряжение оказывается вдвое большим меридионального.

Элемент выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии (рис. 10.10, в):

Эквивалентное напряжение

Для цилиндра, как видим, эквивалентное напряжение оказывается в два раза большим, чем для сферической оболочки того же радиуса и той же толщины.

Пример 10.3. Полусферический сосуд радиусом и толщиной (рис. 10.11, а) заполнен жидкостью, плотность которой 7. Определить напряжение в сосуде и построить эпюры

Рис. 10.11

Нормальным коническим сечением с углом 2 при вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки (рис. 10.11, б) и составляем для нее уравнение равновесия (10.2), где Р - равнодействующая сила давления жидкости. Согласно теореме 10.2, сила Р равна весу жидкости в объеме, расположенном выше отсеченной части оболочки.

Введем вспомогательный угол и определим объем (см. рис. 10.11, б):

или

Таким образом, находим

Обращаемся теперь к уравнению Лапласа (10.1):

Подставляя от, находим из этого уравнения

Согласно выражениям (10.5) и (10.6), строим эпюры представленные на рис. 10.12. Как видим, напряжения в нижней точке сферы равны. В верхней точке имеет отрицательное значение. Там, где будут одного знака, имеем . Там, где имеют разные знаки,

Эпюра эквивалентного напряжения (см. рис. 10.12) имеет, таким образом, излом в точке, где меняет знак. Если расчетное напряжение для сосуда равно

где по-прежнему

Рис. 10.12

Наличие в верхней части сосуда напряжений сжатия является в данном случае вполне закономерным.

Меридиональное напряжение в зоне закрепления является, очевидно, растягивающим. Так как давление здесь мало, то равновесие выделенного элемента (рис. 10.13) возможно только при сжимающем окружном напряжении Если бы сосуд был закреплен в нижней части, то это явление не имело бы места, поскольку на верхней кромке равнялось бы нулю.

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Возникновение сжимающих напряжений при внутреннем давлении свойственно не только сферическому сосуду. Например, в цилиндрическом баке, заполненном жидкостью (рис. 10.14), в зоне перехода от цилиндрической части к днищу тахже могут возникать при определенных условиях сжимающие напряжения. Чтобы оболочка не теряла устойчивость, ее необходимо в этом месте укреплять.

Пример 10.4. Определить напряжения в торообразном баллоне, нагруженном внутренним давлением Размеры баллона даны на рис. 10.15, а.

Выделим сечениями, нормальными к поверхности, часть торообразной оболочки (рис. 10.15, 6). Составим для нее уравнение равновесия и определим

Обращаясь к уравнению Лапласа (10.1), получаем

Подставляя в уравнение (10.1), находим

Рис. 10.15

Наибольшее напряжение возникает во внутренних точках торообразной оболочки при

Так как напряжения имеют общий знак, то

В частном случае, при тор обращается в сферу и выражение (10.7) совпадает с выражением (10.3), полученным для сферы. При тор обращается в цилиндр. Тогда выражение (10.7) совпадает с выражением (10.4). При периметр внутреннего круга обращается в нуль и