8.3. Теория Мора и ее применение

Допустим, что мы располагаем испытательной машиной, на которой образцу можно задавать любые напряженные состояния с пропорциональным изменением всех компонент.

Выберем некоторое напряженное состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно это напряженное состояние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости наибольший из трех кругов Мора (круг 1, рис. 8.2). Будем в дальнейшем считать, что предельное состояние не зависит от Далее, на образце того же материала проводим испытание при другом напряженном состоянии. Снова путем пропорционального увеличения компонент добиваемся того, что напряженное состояние станет предельным. На диаграмме (см. рис. 8.2) вычерчиваем соответствующий круг (круг 2).

Рис. 8.2

Поступая таким образом и дальше, получим семейство кругов Мора для предельных напряженных состояний.

Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что эта огибающая является единственной, независимо от промежуточных главных напряжений . Это положение является основным допущением в излагаемой теории.

Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном напряженном состоянии определить коэффициент запаса. Для этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.

В изложенном подходе к вопросам предельных состояний не содержится, как видим, критериальных гипотез, и теория Мора основана в первую очередь на логической систематизации результатов необходимых экспериментов.

Теперь нужно решить вопрос о том, как построить огибающую предельных кругов при ограниченном числе испытаний. Наиболее простыми являются испытания на растяжение и сжатие. Следовательно, два предельных круга получить просто (рис. 8.3). Можно получить еще один предельный круг путем испытания тонкостенной трубки на кручение. При этом материал будет находиться в состоянии чистого сдвига и центр соответствующего круга расположится в начале координат (рис. 8.4).. Однако этот круг для определения формы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизи двух первых кругов.

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Для определения огибающей чрезвычайно важно знать положение точки С (см. рис. 8.2 и 8.3). Нормальное напряжение в этой точке представляет собой напряжение отрыва при всестороннем растяжении. До сих пор, однако, не существует метода для проведения соответствующего испытания. Вообще не удается осуществить испытание в условиях напряженного состояния, когда все три главных напряжения являются растягивающими (об этом подробнее см. в § 14.2). Поэтому пока нет возможности построить для материала предельный круг, расположенный правее предельного круга растяжения.

В силу указанных обстоятельств наиболее простым и естественным является решение аппроксимировать предельную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия (см. рис. 8.3). Понятно, что это не исключает возможности в дальнейшем, когда будут найдены новые методы испытания, уточнить форму огибающей и тем самым более полно отразить особенности поведения материала в условиях, близких к всестороннему растяжению.

Выведем выражение для полагая, что огибающая является прямой. На рис. 8.4 эта огибающая проведена по касательной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки и

Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, заданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями (см. рис. 8.4). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в раз (где - коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения примут значения

Этот увеличенный (предельный) круг Мора касается предельной огибающей в точке С. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонент, он будет касаться продолжения луча ОА в точке В. Из точки С проводим горизонтальную прямую и составляем пропорпорцию:

Но отрезки и представляют собой разности радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому

Далее,

Преобразовывая пропорцию, получаем

или, если учесть выражения (8.3),

Для эквивалентного растяжения

По условию эквивалентности коэффициенты запаса в этих напряженных состояниях равны. Поэтому

где - отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии: . В частном случай, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые пределы текучести, Тогда формула (8.4) переходит в полученную ранее формулу (8.1).

В настоящее время практические расчеты по допускаемым напряжениям в сложном напряженном состоянии ведут, как правило, на основе формулы (8.4). Вместе с тем, если материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по

формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые результаты получаются вполне удовлетворительными.

Основное ограничение, которое накладывается на применение теории Мора, связано с недостаточной точностью определения предельной огибающей в области всестороннего растяжения. Это ограничение, однако, не столь существенно, поскольку напряженные состояния такого рода при решении практических задач встречаются редко. Недостаточно точно известен также вид предельной огибающей в области глубокого всестороннего сжатия. Здесь вследствие принятого упрощения также возможны погрешности. Наилучшие результаты выведенная расчетная формула дает для смешанных напряженных состояний, т. е. при Тогда предельный круг Мора располагается в интервале между предельными кругами растяжения и сжатия.

Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особенностями напряженного состояния доходчиво разъяснить относительную условность деления материалов на пластичные и хрупкие.

Для одного и того же материала мы всегда можем построить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огибающая характеризует переход от упругого состояния материала к пластическому. Поскольку образование пластических деформаций мы принимаем независимым от шарового тензора, эта огибающая представляет собой прямую, параллельную оси а (рис. 8.5). Вторая огибающая соответствует разрушению образца (кривая 2).

Рис. 8.5

Для материала пластичного (в общепринятом понимании этого термина) прямая 1 в правой части диаграммы (см.

рис. 8.5, а) проходит ниже кривой 2. Это означает, что при обычном испытании образца на растяжение круг Мора 8, но мере увеличения растягивающего напряжения а, сначала пересечет прямую 1. В образце возникнут пластические деформации. Затем круг 3 коснется кривой 2. Образец разрушится.

Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающих для хрупкого материала (см. рис. 8.5, б). Здесь прямая 1 в правой части диаграммы расположена выше кривой 2. При испытании образца на растяжение круг Мора 8, не касаясь прямой 1, соприкасается с кривой 2. Разрушение происходит без заметных остаточных деформаций, как и положено для хрупких материалов. Предел текучести при этом, естественно, не определяют. Но это еще не значит, что он не существует. Представим себе, что мы испытываем тот же образец на растяжение в условиях высокого гидростатического давления. Тогда круг 3, как единое целое, сместится в левую часть диаграммы и при увеличении растягивающей силы коснется сначала прямой 1, но не кривой 2. Мы получаем и пластические деформации для материала, считающегося хрупким, и находим даже его предел текучести.

Все признаки хрупкого разрушения можно получить и у пластичного материала, если его испытывать в условиях наложенного всестороннего растяжения.

Главное достоинство теории Мора заключается в принципе подхода к рассматриваемому вопросу. К сожалению, на это далеко не всегда обращают внимание, и часто теорию Мора ставят в один ряд с общеизвестными гипотезами, а то обстоятельство, что в частных случаях расчетная формула Мора совпадает с расчетной формулой гипотезы касательных напряжении, усиливает впечатление о равноценности этих подходов. Между тем феноменологический подход Мора, т.е. подход, основанный на логическом описании явления, является наиболее естественным и правильным. При обнаружении погрешностей или несоответствий этот подход сохраняет за нами возможность внести в теорию дополнительные уточнения. Так, если в дальнейшем удастся провести испытания образцов в области положительных можно будет аппроксимировать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой

кривой. В расчетную формулу в этом случае войдут не только характеристики материала на растяжение и сжатие, но и некоторые новые показатели, найденные в результате дополнительных испытаний.

Особое значение приобретает феноменологический подход в связи с широким применением в технике новых материалов. Такие материалы, как стеклопластики, стеклоткани и вообще материалы, имеющие волокнистую структуру, часто работают в условиях сложного напряженного состояния. При анализе подобных конструкций уже не приходится рассчитывать на апробированные теории. Надо создавать новую теорию, а это не всегда легко. Поэтому более целесообразным является феноменологический подход.

Сказанное о предпочтительности феноменологического подхода к вопросам предельного состояния не зачеркивает практического значения некоторых гипотез. Так, гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения, прочно вошли в расчетную практику и обеспечивают большие удобства при решении конкретных задач, а гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значение в связи с созданием и развитием теории пластичности (см. § 11.2).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение теории предельных состояний.

Пример 8.1. Определить, какое из трех показанных на рис. 8.6 напряженных состояний является более опасным. Числовые значения напряжений заданы в Материал на растяжение и на сжатие работает одинаково

Рис. 8.6

Подсчитываем эквивалентное напряжение по формуле (8.4) для случаев а, б и в.

Наиболее опасным является состояние а. Состояния a и b равкоопасны.

Пример 8.2. Прибор для исследования морских глубин опускают под воду на глубину Н (рис. 8.7). Вес прибора в воде равен Р. Плотность воды , а материала троса . Определить эквивалентные напряжения в верхнем и нижнем сечениях троса, если

Рис. 8.7

В нижнем сечении имеет место трехосное напряженное состояние. Растягивающее напряжение создается весом прибора, сжимающее - давлением жидкости на глубине

В верхнем сечении имеет место только осевое растяжение, создаваемое весом прибора Р и весом троса в воде Таким образом, в верхнем сечении

Если плотность троса более чем в два раза превышает плотность воды, то наиболее опасным будет верхнее сечение троса. Это сечение необходимо также проверить на прочность в случае, когда прибор висит на тросе в воздухе перед опусканием в воду.

Пример 8.3. Через систему шестерен передается момент (рис. 8.8). В пределах вычерченного узла этот момент уравновешивается моментом на нижней шестерне, где передаточное число от

первого вала ко второму. Подобрать диаметр первого вала, если дано: см. Материал на растяжение и сжатие работает одинаково: . Требуется обеспечить двукратный запас прочности

Рис. 8.8

Из условия равенства нулю суммы моментов относительно оси вала находим тангенциальную силу на шестерне (рис. 8.8, б): . Между шестернями возникает не только тангенциальная, но и радиальная сила Ее значение зависит от типа зацепления. Обычно принимают, что Определяя реакции опор, строим эпюры изгибающих и крутящих моментов (рис. 8.8, в).

Результирующий наибольший изгибающий момент равен, очевидно,

Наиболее опасной будет периферийная точка В в сечении, лежащая в плоскости момента (рис. 8.8, г).

В окрестности точки выделяем элемент, показанный на рис. 8.8, д. Напряжение определяется изгибающим моментом, крутящим:

Для полученного напряженного состояния находим главные напряжения. Поскольку одна из главных площадок известна, пользуемся

построением круга Мора (рис. 8.9), откуда получаем

Находим, далее, эквивалентное напряжение по формуле (8.4). При имеем

или

Подставляя сюда значения изгибающего и крутящего моментов, получаем окончательно

По заданным числовым значениям величии из условия находим диаметр мм.

Рис. 8.9

Рассмотренное в последнем примере напряженное состояние всегда встречается при расчете вала на совместные кручение и изгиб (или растяжение). Поэтому имеет смысл для плоского напряженного состояния , показанного на рис. 8.9, сразу выразить стэкв через две указанные компоненты с тем, чтобы избежать промежуточного определения главных напряжений.

Формула (8.4) после подстановки из выражений (8.5) принимает вид

При приходим к тому же самому выражению, которое было получено при решении рассмотренного примера:

Гипотеза энергии формоизменения (см. формулу (8.2)) в этом случае дает

В практических расчетах этими формулами приходится пользоваться весьма часто, но при этом следует постоянно помнить, что они применимы только к указанному напряженному состоянию.

Различие коэффициентов при в двух последних выражениях не должно вызывать удивление. Это - следствие различия гипотез. Наибольшее относительное расхождение между числовыми значениями найденными по формулам (8.7) и (8.8), составляет примерно что имеет место при

Пример 8.4. Определить допустимую нагрузку для ломаного стержня, показанного на рис. 8.10. Материал стержня - ковкий чугун, . Сечение - квадратное со стороной см. Задан коэффициент запаса

Рис. 8.10

Строим эпюру изгибающих и крутящих моментов. Наиболее опасной является точка А в заделке,

Напряженное состояние соответствует рассмотренному в предыдущем примере. Поэтому можно пользоваться формулой (8.6). Определяем: Подставляя числовые значения величин в выражение (8.6), находим Учитывая трехкратный запас, получим

Пример 8.5. Сравнить эквивалентные напряженка в прямоугольной призме в двух случаях нагружения: а) призма сжимается свободно (рис. 8.11, а), б) призма сжимается в жестком гнезде, не позволяющем ей расширяться в поперечном направлении (рис. 8.11, в).

Рис. 8.11

В случае Следовательно,

В случае б) необходимо сначала определить поперечные сжимающие напряжения а (см. рис. 8.11, в).

По условию поперечная деформация равна нулю, и в соответствии с законом Гука

откуда поперечное сжимающее напряжение

Для полученного напряженного состояния

Величина вследствие ограничения поперечных деформаций, как видим, уменьшается.

Существенно отметить, что для напряженных состояний всестороннего сжатия теория Мора иногда дает отрицательные значения . В частности, это имеет место и в рассматриваемом примере в случае

Такому результату формально можно дать следующее толкование. Бели при иэхв напряженное состояние равноопасно ненапряженному, то при напряженное состояние менее опасно, чем ненапряженное. Несмотря на парадоксальность такого вывода, нет основании его отвергать. Вместе с тем его можно отнести также к погрешностям определения предельной огибающей в области всестороннего сжатия.

В практических расчетах этот вопрос решается тем, что в оценке прочности любой конструкции можно довольствоваться нулевым значением сгзкв, поскольку равноопасность нагруженной и ненагруженной деталей всегда приемлема. Поэтому, если расчет дает считают