11.3. Упругопластический изгиб стержня

Рассмотрим случай чистого изгиба прямого стержня при наличии пластических деформаций. Для простоты будем считать, что поперечное сечение обладает двумя осями симметрии (рис. 11.15) и что диаграммы растяжения и сжатия материала одинаковы. При этих условиях, очевидно, нейтральная линия совпадает с осью симметрии х (см. рис. 11.15). Аналитически связь между напряжением а и деформацией задавать не

Рис. 11.15

Рис. 11.18

будем и примем, что диаграмма растяжения дана графически (рис. 11.16).

Положим, что для стержня, как обычно, справедлива гипотеза плоских сечений, тогда получим

где у - расстояние от нейтральной линии; - кривизна стержня. Изгибающий момент в сечении стержня будет равен

Теперь оказывается возможным графоаналитически определить зависимость кривизны стержня от момента М, а затем при заданном моменте найти и напряжения, возникающие в стержне. Проще всего сделать это следующим образом. Задаемся кривизной и по формуле (11.10) находим максимальное удлинение

Рядом с чертежом поперечного сечения изображаем диаграмму растяжения (рис. 11.17) и отмечаем на ней точку А, соответствующую найденному значению Это удлинение имеет место в слоях, наиболее удаленных от нейтральной линии. Поэтому против верхней точки сечения отмечаем отрезок , а

Рис. 11.17

затем и точку Так как удлинения распределены по высоте по линейному закону, точки соединяем прямой. Она представляет собой эпюру деформаций в сечении.

Далее строим эпюру напряжений. Для некоторого значения у по удлинению (точка находим напряжение а (точка В). Откладывая длину отрезка на эпюре, получаем справа график распределения напряжений по высоте. Затем строим график произведения по высоте. Площадь полученной кривой дает, согласно выражению (11.11), изгибающий момент М. Таким образом, в результате проведенных операций находим одну точку зависимости от момента М. Если задаться новым значением кривизны, можно, повторяя все указанные операции, найти новое значение момента и тем самым определить следующую точку искомой зависимости от М.

Когда искомая кривая построена (рис. 11.18), по заданному моменту определим кривизну стержня. Далее строим эпюру напряжений при кривизне соответствующей заданному моменту М.

Имея описанные построения, можно легко определить также и остаточные напряжения, сохраняющиеся в стержне после разгрузки. Это возможно путем уже описанного

Рис. 11.18

ранее способа суммирования воображаемых напряжений разгрузки и напряжений, возникающих при нагружении. В рассматриваемом случае напряжения разгрузки изменяются в сечении по линейному закону Накладывая эту линейную эпюру на эпюру рабочих напряжений (рис. 11.19), находим эпюру остаточных напряжений. Важно отметить, что полученные напряжения являются самоуравновешенными. В сечении не возникает ни нормальной силы, ни изгибающего момента.

Рис. 11.19

Описанная выше последовательность определения напряжений в изогнутом стержне выглядит значительно проще в случае, когда ширина сечения остается постоянной, т.е. в случае стержня прямоугольного сечения, и особенно просто, когда диаграмма растяжения к тому же обладает участком идеальной пластичности.

Рассмотрим этот частный случай. Имеем прямоугольное сечение со сторонами и и диаграмму растяжения, показанную на рис. 11.20. Легко установить, что поперечное сечение стержня делится на две зоны: упругую и пластическую.

Величину определяющую границу этих зон, находим из выражения (11.10)

По мере увеличения момента и, соответственно, кривизны уменьшается. Упругая зона сокращается.

Изгибающий момент в сечении по-прежнему определяется выражением (11.11), которое в данном случае принимает вид

Рис. 11.20

Разбивал интеграл на два, получаем

Так как на упругом участке после интегрирования находим

Отсюда, имея в виду, что на основании выражения (11.12)

получаем

откуда

Кривизна стержня с увеличением момента М возрастает и обращается в бесконечность при

В этом случае обращается в нуль. Следовательно, все сечение охватывается пластической деформацией, и эпюра напряжений в поперечном сечении стержня имеет вид двух прямоугольников (рис. 11.21). Несущая способность стержня при этом исчерпывается, и большая нагрузка им воспринята быть не может. Понятно, что в действительности кривизна стержня не может обратиться в бесконечность, и указанный случай следует рассматривать как предельный.

Рис. 11.21

Применимость формулы (11.14) ограничена значением момента М не только сверху, но и снизу. При малых значениях момента, когда пластическая зона отсутствует, кривизна определяется по формулам, выведенным в предположении линейной зависимости между

Это соотношение будет правильным до тех пор, пока

т.е.

Формулой (11.14) можно пользоваться при

На рис. 11.22 изображена зависимость кривизны от момента М.

Рис. 11.22

Из выражений (11.14) и (11.16) сразу же можно найти остаточную кривизну, которую сохраняет брус после разгрузки:

где под М понимается величина момента при нагрузке.

Остаточная кривизна может быть найдена и по графику, как это показано на рис. 11.22.

Рис. 11.23

Эпюра остаточных напряжений представляет собой ломаную линию (рис. 11.23). Она получается в результате вычитания линейной эпюры разгрузки из эпюры нагружения.

Наибольшие остаточные напряжения будут следующими:

Пример 11.4. Витая пружина получается путем холодной навивки проволоки на цилиндрическую оправку (рис. 11.24). Для случая прямоугольного сечения проволоки подобрать диаметр оправки с таким расчетом, чтобы после навивки пружина имела заданный средний диаметр витка мм. Высота сечения проволоки

Рис. 11.24

Полагая, что угол подъема витка мал, будем рассматривать виток пружины как плоский. По условию остаточная кривизна витка

Обращаемся к выражению (11.17). В нем нам неизвестен момент М. Найдем его. Для этого перепишем уравнение (11.17) в виде

или

Величина лежит в пределах от 1/6 до 1/4. Подбором определяем

По формуле (11.14) находим радиус кривизны проволоки в нагруженном состоянии

откуда мм. Вычитал из этого значения половину толщины проволоки, находим размеры оправки: .

Пример 11.5. Часовую пружину изготовляют путем навивки стальной ленты на цилиндрический сердечник (рис. 11.25, а). Освобожденная лента принимает в дальнейшем форму спирали (рис. 11.25, б). Определить уравнение этой спирали, если свойства материала характеризуются диаграммой идеальной пластичности.

Рис. 11.25

При навивке лента изогнута по спирали Архимеда

где - полярные координаты, - диаметр сердечника, - толщина ленты (см. рис 11.25, а).

Так как толщина ленты А невелика и спираль, следовательно, имеет небольшой шаг, можно считать, что полярный радиус равен радиусу кривизны: Тогда из уравнения (11.13) получаем изгибающий момент при навивке:

Подставляя далее М в уравнение (11.17), находим

Это выражение и представляет собой искомое уравнение спирали.

С увеличением угла остаточная кривизна уменьшается. При некотором она может оказаться равной нулю. Это значит, что в этом сечении и на остальном внешнем участке ленты пластические деформации при навивке не образуются, и лента остается прямой.