5.2. Теорема Кастилиано

В основу определения перемещений стержня может быть положена теорема Кастилиано: частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

Высказанная формулировка требует пояснения. Условимся под перемещением в заданном направлении понимать проекцию полного перемещения на заданное направление. Поэтому перемещение точки приложения силы по направлению силы надо понимать как проекцию на направление силы полного перемещения этой точки.

Рис. 5.8

Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной системой сил и закрепленное тем или иным способом, но так, чтобы были исключены его смещения как жесткого целого (рис. 5.8). Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна

и выражена через силы. Одной из сил, например силе дадим приращение Тогда потенциальная энергия U получит приращение и примет вид

Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сначала к упругому телу силу . В точке приложения этой силы возникнет соответственно малое перемещение, проекция которого на направление силы равна Тогда работа силы оказывается равной еперь приложим всю систему внешних сил. При отсутствии силы потенциальная энергия системы снова приняла бы значение Но теперь эта энергия изменится на величину дополнительной работы которую совершит сила на перемещении вызванном всей системой внешних сил. Величина опять представляет собой проекцию полного перемещения на направление силы Перед произведением множитель 1/2 отсутствует, поскольку на пути сила остается неизменной.

В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде

Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение как величину высшего порядка малости, находим

Следовательно, дифференцируя потенциальную энергию по одной из внешних сил (при прочих неизменных силах), находим перемещение точки приложения этой силы по направлению силы.

Если еще раз внимательно рассмотреть вывод, то легко установить, что в выражении (5.6) силу можно трактовать как обобщенную, т.е. как некоторый силовой фактор. Тогда следует рассматривать как обобщенное перемещение, т.е.

как такой геометрический параметр, на котором обобщенная сила совершает работу. Например, если под понимать внешний момент рис. 5.8), то представляет собой угловое перемещение в точке приложения момента по направлению момента. Если тело нагружено силами гидростатического давления, то, дифференцируя потенциальную энергию по давлению, получаем изменение объема тела.

При доказательстве теоремы Кастилиано мы не накладывали ограничений ни на форму тела, ни на систему внешних сил. Мало того, мы не ставили даже вопрос о том, подчиняется или нет материал закону Гука. Однако в скрытой форме эти ограничения все же присутствуют.

Если зависимость между силами и перемещениями нелинейна, то работа, совершенная системой внешних сил, зависит от того, приложена эта система до или после силы Иначе говоря, слагаемые в выражениях (5.4) и (5.5) различны, и теорема Кастилиано становится несправедливой.

В подавляющем большинстве задач, с которыми приходится сталкиваться на практике, зависимость между силами и перемещениями является линейной, и к решению таких задач теорема Кастилиано полностью применима. Исключение составляют системы, к которым не может быть применен принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил. Примеры таких систем были приведены ранее (см. § В6). При определении перемещений в таких системах пользоваться теоремой Кастилиано в том виде, в каком это делалось здесь, недопустимо.

В случае нелинейной зависимости между силами и перемещениями используют более общие энергетические соотношения, выведенные на основе принципа возможных перемещений. Более общую формулировку получает и теорема Кастилиано, которая в этом случае трактуется как теорема о минимуме так называемой дополнительной работы.

Рассмотрим простейшие примеры определения перемещений при помощи теоремы Кастилиано.

Пример 5.1. Определить при помощи теоремы Кастилиано угол поворота правого торца стержня (рис. 5.9), нагруженного моментом

Рис. 5.9

Внутренняя потенциальная энергия стержня при кручении, согласно выражению (5.3), равна Так как а жесткость предполагается неизменной, то Дифференцируя по находим что совпадает с известным выражением для угла закручивания.

Пример 5.2. Определить прогиб консоли (рис. 5.10), нагруженной на конце силой Р.

Рис. 5.10

Потенциальная энергия стержня при изгибе На расстоянии z от конца При постоянной жесткости получаем Перемещение точки приложения силы Это значение прогиба уже было получено ранее методом интегрирования упругой линии стержня.

Пример 5.3. Определить вертикальное перемещение точки А для конструкции, показанной на рис. 5.11. Жесткости стержней одинаковы и равны

Если не пользоваться теоремой Кастилиано, то такую задачу решить было бы довольно трудно. Нужно было бы найти удлинения всех стержней, а затем путем геометрических преобразований установить положение

узлов деформированной фермы. Тадок способ решены привел бы, несомненно, к громоздким выкладкам. При помощи теоремы Кастилиано эта задача решается несравненно проще.

Рис. 5.11

Сначала методом вырезания узлов находим усилия в каждом стержне и полученные значения сводим в таблицу

Далее определяем значение потенциальной энергии для каждого стержня заполняем последний столбец этой таблицы. Суммируя, находим

Искомое перемещение точки А равно