10.4. Определение напряжений и перемещений в круглых пластинах

Проследим на примерах последовательность применения выведенных формул.

Пример 10.5. Определить прогибы и напряжения в пластине, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой в двух случаях закрепления пластины: а) при защемлении контура, б) при свободном опирании пластины на контуре (рис. 10.21). Радиус пластины , толщина

Рис. 10.21

Решение задачи начинаем с определения поперечной силы Для центральной части пластины радиусом (см. рис. 10.21), независимо от способа закрепления на внешнем контуре, уравнение равновесия дает

или

Из выражения (10.18) после двукратного интегрирования находим

Как в первом, так и во втором случае угол поворота в в центре пластины (при должен быть равен нулю. Но это возможно только при Таким образом,

Теперь рассмотрим случаи закрепления раздельно. В первом случае при угол откуда

Согласно выражениям (10.13), получаем

Далее, из выражения (10.8) находим

где - постоянная, определяемая из условия Тогда

Пластина, как видим, изгибается по поверхности четвертого порядка.

Во втором случае закрепления пластины радиальные напряжения (или момент на контуре обращаются в нуль. Следовательно, согласно первому выражению (10.13), при

Из этого условия определяем постоянную Уравнение (10.20) дает

откуда

Согласно выражениям (10.13), определяем изгибающие моменты:

Выражение для перемещения имеет вид

Постоянную снова подбираем из условия, чтобы на контуре перемещение и обращалось в нуль:

следовательно,

Согласно выражениям (10.21) (10.23), строим эпюры изгибающих моментов (рис. 10.22).

Рис. 10.22

В случае защемленного контура наибольшие растягивающие напряжения возникают у верхней поверхности вблизи контура. Согласно формулам (10.19),

а эквивалентное напряжение

В случае свободно опертого контура наибольшие растягивающие напряжения

возникают в центре у нижней поверхности пластины. Здесь

Наибольшие прогибы, согласно выражениям (10.22) и (10.24), в первом и втором случаях будут равны соответственно

Пример 10.6. Определить напряжения и прогибы в дисковой пружине, показанной на рис. 10.23, а.

Рис. 10.23

Задача, очевидно, сводится к расчетной схеме пластины, нагруженной по контурам распределенными силами интенсивности Р (рис. 10.23, б). Осадка пружины определяется прогибом одной пластины, увеличенным в раз, где - число пластин в пружине.

Определяем сначала поперечную силу Из условия равновесия центральной части пластины (рис. 10.23, в) имеем

Из уравнения (10.18) находим

Заменив постоянную на перепишем это выражение в следующем виде:

Постоянные подбираем условий, чтобы изгибающий радиальный момент

обращался в нуль при Это дает два уравнения:

откуда

Теперь подставив в выражения (10.13), получим

Эпюры моментов представлены на рис. 10.24. Наибольшее напряжение имеет место у внутреннего контура. Здесь

где

Рис. 10.24

Интегрируя уравнение (10.26), находим, согласно выражению (10.8),

Постоянную определяем из условия, чтобы при перемещение обращалось в нуль. Тогда

Полагая и подставляя находим прогиб одной пластины:

Для рассматриваемой пружины эту величину нужно увеличить в раз.

Пример 10.7. Определить прогиб и наибольшие напряжения в пластине, нагруженной сосредоточенной силой в центре (рис. 10.25).

Как и в предыдущем примере, Поэтому выражение (10.26) сохраняет свою силу. Перепишем его:

Рис. 10.25

В центре (при угол Следовательно, поскольку постоянная Постоянную подбираем так, чтобы функция обращалась в нуль при Это дает Таким образом,

Изгибающие моменты, согласно выражениям (10.13), будут равны

Эпюры, построенные по этим формулам, представлены на рис. 10.25. Как видим, в центре изгибающие моменты обращаются в бесконечность, что является следствием того, что здесь обращается в бесконечность поперечная сила . В центре, таким образом, имеет место, как говорят, неустранимая особенность. В реальных условиях сосредоточенных в точке

сил не существует - это лишь схема. Сила действует на небольшую площадку (рис. 10.26) в зависимости от размеров которой будут возникать большие или меньшие напряжения.

Прогиб в центре пластины при сосредоточенной силе имеет конечную величину, и схематизация реальных условий приложения сил не вносит здесь противоречий:

Рис. 10.26

Так как при прогиб

откуда

В центре

Пример 10.8. Построить эпюры изгибающих моментов для сплошной пластины, защемленной по контуру и нагруженной силой Р, распределенной по окружности радиусом а (рис. 10.27).

Пластину следует рассматривать как состоящую из двух участков. На первом участке , согласно выражению (10.8), получаем

причем сразу можно сказать, что поскольку в центре Таким образом,

На втором участке

Здесь, согласно выражению (10.26),

Рис. 10.27

Постоянные определяем из условий сопряжения участков. При имеем т.е. углы поворота и изгибающие моменты на контуре сопряжения участков должны быть одинаковыми.

Условие равенства моментов можно переписать в виде

Но так как

Третье условие будет, очевидно, следующим: при угол поворота Таким образом, получаем три уравнения:

из которых находим

На первом, центральном, участке пластины изгибающие моменты, согласно выражениям (10.13) и (10.27), равны:

На втором участке, учитывая выражение для 0] (10.28), получим

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 10.27. Если радиус мал, то наибольший изгибающий момент возникает в центральной части пластины. При больших значениях а наибольший момент имеет место у ее контура. По моментам легко подсчитать и напряжения.

Таким образом, задача о расчете пластины, имеющей несколько участков, не содержит в себе принципиальных трудностей. Однако здесь приходится большей частью производить довольно громоздкие выкладки.