2.4. Краткие сведения о пленочной (мембранной) аналогии

В результате того, что аналитическое решение задачи о кручении стержня с некруглым поперечным сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методов исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает метод аналогий.

В задачах механики часто встречаются случаи, когда решения совершенно различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными из другой задачи. Тогда говорят, что переменная является аналогом переменной аналогом переменной Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными , а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости от . В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки.

Характер деформации пленки под действием давления можно всегда представить себе, если не точно, то, во всяком случае, ориентировочно. Следовательно, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении стержня с заданной формой сечения.

Положим, например, что нужно установить закон распределения напряжений в сечении, показанном на рнс. 2.30. Представим себе, что на заданный контур натянута пленка, которая нагружена равномерно распределенным давлением. Изобразим несколько разрезов пленки. Соответственно углам наклона пленки покажем ориентировочно распределение напряжений по сечению (см. рис. 2.30).

Рис. 2.30

При помощи пленочной аналогии можно получить не только качественные, но и количественные соотношения. Для этого используют специальный несложный прибор. Он состоит из подвижного столика, на котором расположена плоская коробка с натянутой тонкой резиновой пленкой. Сверху пленка вплотную накрыта крышкой с отверстием по форме исследуемого сечения. К нижней части коробки подведена трубка, сообщающаяся со стеклянным манометром. Поднимая трубку, повышают давление под резиновой пленкой, и последняя деформируется. Легко провести обмер пленки посредством вертикально установленного микрометра. Координаты точки на пленке устанавливают продольным и поперечным перемещениями столика. После того как определены перемещения, могут быть найдены и углы наклона касательной к поверхности пленки.

Если по форме исследуемого сечения изготовить пробку и плотно закрыть ею отверстие в верхней крышке, то пленка

распрямится и жидкость из объема под пленкой будет вытеснена. По уровню жидкости в стеклянной трубке определяют объем между прогнувшейся пленкой и горизонтальной плоскостью. Этот объем, как уже говорилось, является аналогом крутящего момента.

В зависимости от толщины пленки и силы предварительного натяжения замеренные прогибы и объемы будут различными. Чтобы исключить влияние жесткости пленки, одновременно с исследуемым сечением на том же приборе производят обмер пленки с круговым очертанием. Для стержня кругового сечения жесткость и напряжения могут быть определены расчетным путем. Поэтому оказывается возможным, сопоставляя результаты замеров, найти требуемые характеристики заданного сечения по характеристикам кругового сечения из соображений пропорциональности.

Например, геометрический параметр жесткости исследуемого сечения (см. формулу (2.27)) можно определить из соотношения

где - полярный момент инерции круга, - диаметр кругового сечения; - объемы, ограниченные пленкой, для исследуемого и кругового сечений при одном и том же давлении.

Аналогично можно вычислить и геометрический параметр (см. формулу (2.26)):

где - полярный момент сопротивления кругового сечения; максимальные углы наклона касательной к поверхности пленки для исследуемого и кругового сечений, полученные замером при одинаковых объемах, ограниченных пленкой.

Рассмотренная аналогия не является единственной. Для задачи о кручении стержня могут быть предложены и другие аналогии, связанные, например, с законами гидродинамики.

В теории упругости при решении некоторых задач используют также электростатические аналогии, где законы распределения напряжений в упругом теле устанавливают путем замера напряженности электростатического поля в различных точках исследуемой области модели.

Современная техника вообще широко использует различные аналогии. В тех случаях, когда в качестве аналога используют искусственно созданную схему, метод аналогии называют моделированием. Этим методом исследуют многие сложные и недоступные непосредственному наблюдению процессы, такие, как, например, стабилизация ракеты в полете. Аналогами углов поворота ракеты в пространстве являются в этом случае электрические потенциалы в определенных узлах специально набранной электронной моделирующей установки.