4.5. Центр изгиба

Система сил, лежащих в плоскости сечения, как известно из теоретической механики, может быть приведена к любой точке плоскости в виде равнодействующей силы и момента.

Равнодействующая сила не зависит от точки приведения и во всех случаях равна поперечной силе . В этом можно

убедиться хотя бы на примере рассмотренного кругового незамкнутого профиля (см. рис. 4.37). Здесь равнодействующая касательных сил по оси у определяется следующим интегралом:

который, как легко установить, равен . То же самое имеет место и для рассмотренного выше примера корытного и вообще для любого профиля.

Рис. 4.38

Что касается равнодействующего момента в сечении, то он зависит от положения точки приведения сил. Так, например, в том же случае кругового незамкнутого профиля момент касательных сил относительно центра круга (рис. 4.38) будет

При переходе от одной точки к другой момент изменится, очевидно, на величину , где а - расстояние между этими точками. Так, если привести силы к точке А (см. рис. 4.38, в), то

Существует такая точка, относительно которой момент касательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. В рассмотренном примере центр изгиба находится на расстоянии от центра круга (см. рис. 4.38, г).

Для корытного профиля (рис. 4.39) в точке А имеем

Согласно выражению (4.15), после интегрирования получим

Отсюда следует, что центр изгиба находится на расстоянии от средней линии стенки (см. рис. 4.39, в).

Рис. 4.39

Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает, очевидно, с центром тяжести.

В некоторых простейших случаях положение центра изгиба может быть указано без проведения каких бы то ни было вычислений. Например, у таврового и углового профилей (рис. 4.40) центр изгиба находится в точке пересечения средних

Рис. 4.40

линий стенки и полки. Момент касательных сил относительно этой точки всегда равен нулю.

Итак, если момент касательных сил в сечении относительно центра изгиба равен нулю, то и момент внешних сил относительно центра изгиба должен быть равен нулю, иначе в стержне будут возникать деформации, свойственные не только поперечному изгибу, но и кручению. В дальнейшем целесообразно, очевидно, при определении внутренних силовых факторов приводить касательные силы в сечении не к центру тяжести, а к центру изгиба и под крутящим моментом понимать соответственно внутренний момент относительно центра изгиба. Так, рассматривая, например, стержень, показанный на рис. 4.41, можно сказать, что поскольку линия действия силы проходит через ось z (ось центров изгиба), то крутящий момент в сечении равен нулю и стержень закручиваться не будет.

Рис. 4.41

Рис. 4.42

Но, например, тот же самый стержень, защемленный одним концом и находящийся под действием собственного веса (рис. 4.42), будет закручиваться. Крутящий момент в заделке равен

Рис. 4.43

Дополнительные касательные напряжения кручения распределяются в сечении по законам для открытого профиля. При этом

(см. формулу (2.28) § 2.5). Аналогичная картина имеет место и при изгибе тонкостенного стержня любого профиля, если только равнодействующая внешних сил не проходит в сечении через центр изгиба (рис. 4.43).