5.4. Способ Верещагина

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.

Положим, на участке длиной нужно взять интеграл от произведения двух функций

при условии, что по крайней мере одна из этих функций - линейная. Пусть Тогда выражение (5.10) примет

(кликните для просмотра скана)

Рис. 5.18.

Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой (рис. 5.18), или, короче говоря, площадь эпюры

Второй интеграл характеризует статический момент этой площади относительно оси ординат, т.е.

где - координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем

Но . Следовательно,

Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

В случае, если обе функции - линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой

эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

В каждый из интегралов Мора (5.8) входит произведение функций и т. д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр проводится одинаково, независимо от того, построены эти эпюры для изгибающих и крутящих моментов и нормальных и поперечных сил. Разница заключается лишь в том, что результат перемножения делится не на жесткость как при изгибе, а на жесткость если речь идет о кручении, или на или - при растяжении и сдвиге.

На первый взгляд может показаться, что способ Верещагина не дает существенных упрощений. Для его применения необходимо вычислять площадь эпюры моментов и положение ее центра тяжести, что при сложных эпюрах все равно потребует интегрирования, как и в методе Мора. Однако встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть, как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник (рис. 5.19), для которых площадь П и положение центра тяжести известны. При кручении, растяжении и сдвиге эпюры оказываются еще более простыми: они, как правило, линейные и состоят из прямоугольников и треугольников в различных комбинациях.

Рис. 5.19

Пример 5.7. При помощи правила Верещагина определить перемещение точки А для стержня, показанного на рис. 5.20, а.

Строим эпюру изгибающих моментов от заданных сил Р (рис. 5.20, 6). Затем, полагая внешние силы равными нулю, прикладываем в точке А единичную силу и также строим эпюру (рис. 5.20, в и г). Далее проводим перемножение эпюр.

Рис. 5.20

На участке площадь эпюры моментов заданных сил

Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментов заданных сил для этого участка будет

Перемножая эти величины, находим

Участок нельзя рассматривать целиком, так как на этом участке эпюра моментов единичной силы является ломаной. Надо взять половину участка, т.е. отрезок Здесь Складывая полученные выражения для находим

Для участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение и, разделив его на находим искомое перемещение

Пример 5.8. В системе, показанной на рис. 5.21, а, определить, на какое расстояние разойдутся точки А под действием сил Р.

Строим эпюры моментов от заданных сил Р и от единичных сил, приложенных в точках (рис. 5.21, б и в). Очевидно, результат перемножения

Рис. 5.21

эпюр на вертикальных участках будет равен нулю. Для горизонтального участка получим Следовательно,

Пример 5.9. Определить перемещение точки А консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5.22, а).

Рис. 5.22.

Строим эпюры моментов от заданных сил и от единичной силы, приложенной в точке А (рис. 5.22, б и в). Перемножение эпюр должно быть

проведено по участкам - для правой и левой половин стержня. Но для левой половины эпюра моментов заданных сил представляет собой параболическую трапецию, площадь и положение центра тяжести которой нам неизвестны. Поэтому проводим так называемое “расслаивание эпюры”. Вместо эпюры, показанной на рис. 5.22, 6, строим отдельно эпюры от нагрузки, расположенной справа, и отдельно от нагрузки, расположенной слева от точки А (рис. 5.22, г). Теперь на левом участке взамен параболической трапеции имеем простые прямоугольник, треугольник и параболический треугольник. Для всех этих фигур площади и положение центров тяжести известны.

Произведение эпюр для правого участка равно нулю. На левом участке соответственно для прямоугольника, треугольника и параболического треугольника получаем следующие слагаемые:

откуда

Пример 5.10. Рассмотрим пример пространственной системы. Определим перемещение точки А в направлении к для пространственного стержня (рис. 5.23, а). Жесткость для элементов при изгибе в одной и другой плоскости равна Жесткость на кручение равна

Рис. 5.23

Основными перемещениями в системе являются перемещения, связанные с изгибом и кручением стержней. Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов от заданных сил и от единичной силы (рис. 5.23, б и в). Перемножаем эпюры изгибающих моментов, причем только эпюры, лежащие в одной плоскости. Это следует из выражения (5.8), где под интегралами перемножают только моменты но не

Приведем результат перемножения эпюр изгибающих моментов, соответствующих участкам и

Так как жесткость на изгиб в обеих плоскостях для всех участков одна и та же, все эти величины следует сложить и разделить на . Тогда получим

Эпюры крутящих моментов перемножаются только на участке . Моменты имеют общий знак. Поэтому получаем

Искомое перемещение

Для стержня круглого сечения

и