4.10. Изгиб бруса большой кривизны

До сих пор мы рассматривали задачи, связанные с изгибом прямого бруса. Обратимся теперь к изгибу кривого бруса, полагая, что внешние силы приложены в плоскости его кривизны.

Принято различать брус малой и большой кривизны. Основным признаком для такого деления является отношение высоты сечения в плоскости кривизны к радиусу кривизны оси бруса Если это отношение существенно меньше единицы считается, что брус имеет малую кривизну. Для бруса большой кривизны отношение соизмеримо с единицей. Таким образом, указанное деление является условным и не имеет четкой границы.

Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы также и к брусу малой кривизны. Очевидное изменение претерпевает только формула (4.5), определяющая кривизну нагруженного бруса. Взамен нее для бруса малой кривизны имеем

где - кривизна ненагруженного бруса. Таким образом, задачи, связанные с расчетом бруса малой кривизны на прочность, не содержат в себе специфических особенностей. Вопрос о перемещениях будет рассмотрен особо в гл. 5.

Рис. 4.61

Перейдем теперь к брусу большой кривизны. К схеме такого бруса сводится, например, задача расчета на прочность крюка подъемника или звеньев металлической цепи (рис. 4.61).

Положим, имеется участок бруса большой кривизны постоянного сечения, нагруженный по концам моментами (рис. 4.62). Так же как и для прямого бруса (см. § 4.2), можно показать, что множество точек, образующих до изгиба поперечное сечение бруса, после изгиба также образует плоское сечение, но повернутое в пространстве. Иными словами, поперечные сечения бруса большой кривизны при чистом изгибе остаются плоскими.

Выделим из кривого бруса двумя близкими нормальными сечениями (см. рис. 4.62) элементарный участок. При изгибе смежные сечения повернутся одно относительно другого на угол и в слоях бруса возникнут некоторые удлинения.

Рис. 4.62

Введем необходимые обозначения. Через (см. рис. 4.62, а) обозначим радиус кривизны оси бруса (линии центров тяжести сечений), а через - радиус кривизны нейтрального слоя. Радиус пока неизвестен. В дальнейшем мы увидим, что всегда меньше и нейтральная линия для бруса большой кривизны смещена относительно центра тяжести в сторону центра кривизны. Ординату у будем отсчитывать от нейтральной линии.

Удлинение слоя А В (см. рис. 4.62, б) равно

Здесь предполагается, что в процессе изгиба бруса у не меняется. Однако, строго говоря, это не так. Если рассмотреть условия равновесия элементарной полоски АВ (см. рис. 4.62, в), станет очевидным, что между соседними волокнами должно существовать взаимодействие в виде сил, направленных по радиусу, в результате чего форма поперечного сечения бруса меняется и размер у не остается прежним. Для сплошных сечений это изменение несущественно. Для тонкостенного же бруса радиальные перемещения волокон довольно велики и могут коренным образом изменить картину распределения напряжений в сечении.

Отношение пропорционально изменению кривизны бруса. Из рис. 4.62 видно, что с одной стороны где - радиус кривизны нейтрального слоя

после деформации; с другой стороны, Приравнивая эти выражения, получаем

Таким образом, можно написать, что

и, далее,

В полученных выражениях наглядно проявляется основная особенность бруса большой кривизны: размеры поперечного сечения соизмеримы с радиусом то, поэтому величина у, стоящая в знаменателе, имеет существенное значение и напряжения по высоте сечения распределяются нелинейно. Для бруса малой кривизны размер у по сравнению с мал и

При это выражение принимает вид уравнения (4.3) для прямого бруса.

Рис. 4.63

Будем полагать для простоты, что сечение бруса симметрично относительно плоскости кривизны. Тогда ось у в сечении является осью симметрии (рис. 4.63) и момент элементарных сил относительно этой оси равен нулю. Напишем

теперь выражения для нормальной силы и изгибающего момента М:

После подстановки а из (4.33) получаем

Так как нормальная сила равна нулю, то

Выражение для М преобразуем, разбивая входящий в него интеграл на два слагаемых:

Первое слагаемое представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии и равно произведению , где - расстояние от нейтральной линии до центра тяжести,

Второе слагаемое, согласно выражению (4.35), равно нулю. Таким образом,

Исключив при помощи полученного соотношения разность

— из выражения (4.34), получим следующую расчетную формулу для определения нормальных напряжений:

Напряжения, как видим, меняются по высоте сечения нелинейно. Эпюра напряжений представляет собой гиперболу, одна из асимптот которой совпадает с осью кривизны

(рис. 4.64). В зависимости от формы сечения наибольшие напряжения могут иметь место как в верхней, так и в нижней точке сечения.

Рис. 4.64

Рис. 4.65

Для того чтобы пользоваться формулой (4.38), необходимо определить Для этого рассмотрим интеграл (4.35). Введем новую переменную (рис. 4.65). Тогда выражение (4.35) примет вид

откуда

Интеграл, стоящий в знаменателе, представляет собой геометрическую характеристику сечения, такую же, как, например, статический момент или момент инерции. В частности, для прямоугольника (рис. 4.66, а) имеем

и, согласно формуле (4.39),

Рис. 4.66

Смещение нейтральной линии относительно центра тяжести

Аналогичным образом для бруса круглого поперечного сечения (рис. 4.66, б) после выполнения операции интегрирования получим

Вычисление как разности между содержит в себе значительные неудобства, особенно в случае сравнительно небольшой кривизны бруса. Дело в том, что разность больших радиусов очень мала, но должна быть вычислена точно, поскольку от этого непосредственно зависит результат расчета напряжения а по формуле (4.38). Поэтому значение приходится подсчитывать с большим числом знаков.

Для подобных случаев выработан прием разложения вычитаемых величин в ряды с последующим исключением первых взаимно уничтожающихся членов. Например, в рассмотренном случае прямоугольного сечения это выглядит следующим образом:

откуда

Возвращаясь к выражению (4.40), видим, что радиусы взаимно уничтожаются, а смещение можно определить без потери точности при помощи следующего ряда:

При можно довольствоваться с достаточной точностью одним членом ряда:

Аналогично для выражения (4.41) имеем

Все сказанное легко может быть распространено и на случай сечения произвольной формы. Выражение (4.35) перепишем в виде

где - расстояние от площадки до центральной оси. Отсюда для получаем следующее выражение:

Воспользуемся разложением и ограничимся двумя первыми членами ряда. Тогда получим

Так как отсчитывается от центральной оси, то Тогда, очевидно,

где как и при изгибе прямого бруса, - момент инерции сечения относительно центральной оси.

Пример 4.17. Найти напряжение в точке А крюка трапецеидального сечения (рис. 4.67) со следующими размерами: см. Сила

Сначала определяем положение центра тяжести сечения. Статический момент сечения относительно большего основания

Площадь сечения

Разделив статический момент на площадь сечения, находим расстояние от основания трапеции до центра тяжести:

Радиус см. Момент инерции сечения относительно основания

Переходя к центральной оси х, получаем Довольствуясь приближенным определением по формуле (4.42) находим см.

Напряжение изгиба в точке А определяем по формуле (4.38), которая принимает для данного случая вид

Кэтому напряжению следует прибавить напряжение растяжения

Таким образом,

Рис. 4.67

Вычисляя значение более точно, находим