11.5. Основы расчета по предельным нагрузкам

При расчетах конструкций на прочность наиболее широко распространенным является метод расчета по напряжениям. Однако, как уже говорилось, этот метод не является единственным. В ряде случаев более предпочтительно ведение расчета по разрушающим или предельным нагрузкам, от которых рабочие нагрузки составляют некоторую часть.

Отношение предельной нагрузки к рабочей называется коэффициентом запаса по предельным нагрузкам. Его назначают, как правило, в зависимости от особенностей проектируемой конструкции.

На примере рассмотренных в настоящей главе задач мы уже имели возможность познакомиться с понятием предельной нагрузки. Так, для системы, состоящей из трех стержней (см. рис. 11.11), она оказалась равной

а для стержня прямоугольного сечения предельный изгибающий момент

Обобщая полученные результаты, следует отметить, что под предельной понимается нагрузка, по достижении которой исчерпывается способность системы воспринимать дальнейшее ее возрастание, или нагрузка, при которой возникают столь заметные изменения геометрических размеров системы, что последняя перестает удовлетворять своему назначению.

Усвоить приемы определения предельных нагрузок проще всего путем решения конкретных задач. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 11.7. Определить разрушающую нагрузку для трехстержневой системы (рис. 11.30) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения и разрушение происходит при напряжении а, (см. рис. 11.30).

Рис. 11.30

Уравнение упругого участка диаграммы имеет вид Для участка упрочнения

За разрушающую примем ту нагрузку, при которой разорвется средний стержень. Это произойдет тогда, когда удлинение станет равно Определим, какое удлинение будет иметь при этом каждый из боковых стержней: . Учитывая, что получим .

Таким образом, к моменту разрыва среднего стержня боковые будут иметь удлинения . Напряжения при этом будут: в среднем стержне , а в боковых - либо если либо же , если

Предельная нагрузка . Подставляя находим

при

при

Пример 11.8. Определить предельную нагрузку для системы, показанной на рис. 11.31, а. Горизонтальный стержень предполагается жестким, а вертикальные имеют одинаковое поперечное сечение и сделаны из одного и того же материала, диаграмма растяжения которого дана на рис. 11.31, б.

Рис. 11.31

Если постепенно увеличивать силу Р, то усилия в стержнях будут увеличиваться. При некотором значении силы Р в стержне 1 или же в стержнях 3 и 4 напряжение станет равно . Однако эта сила еще не будет предельной. Предельной является та, при которой заметные пластические деформации возникнут и в стержне Тогда система превратится в механизм и горизонтальный стержень как жесткое целое повернется относительно точки А или В (относительно какой - это будет выяснено в дальнейшем).

Положим сначала, что предел текучести достигнут в стержнях

Рис. 11.32

Тогда, взяв сумму моментов всех сил относительно точки В (рис. 11.32, а), определяем предельную нагрузку. В этом случае

откуда

Допустим теперь, что предел текучести достигнут в стержнях 2, 3 и 4. Определяем сумму моментов относительно точки (рис. 11.32, 6):

откуда

Из двух полученных значений Риреп выбираем меньшее. При любых углах а меньшим будет второе значение

Пример 11.9. Определить предельную нагрузку для стержня, показанного на рис. 11.33. Поперечное сечение - прямоугольное. Диаграмма растяжения имеет участок с идеальной пластичностью.

Рис. 11.33

Для решения задач такого типа следует ввести понятие пластического шарнира.

Рассмотрим процесс распространения зоны пластических деформаций в стержне при увеличении нагрузки. Пластические деформации появятся сначала в точках, расположенных у верхней и нижней поверхностей в наиболее напряженных сечениях. Зоны пластических деформаций (при некотором значении силы на рис. 11.34 заштрихованы. По мере роста нагрузки эти зоны расширяются.

Рис. 11.34

В качестве предельного можно рассматривать случай, когда в некотором сечении, где имеет место наибольший изгибающий момент, эти зоны сомкнутся, как это показано пунктиром на рис. 11.34. Все: сечение будет охвачено тогда пластической деформацией,

и изгибающий момент в нем достигнет предельного значения Как уже было установлено в § 11.3, для прямоугольного сечения

Изгибающий момент не может стать больше предельного. Сечение, в котором возник предельный момент, можно уподобить шарниру с постоянным моментом трения. Такой шарнир носит название пластического шарнира. Очевидно, если в стержне или раме возникнет несколько шарниров, система может стать механизмом.

Рис. 11.35

Возвращаясь к рассматриваемому стержню, обнаруживаем, что его предельное состояние характеризуется возникновением трех пластических шарниров (рис. 11.35). Из условия равновесия половины стержня находим

или

В дополнение к рассмотренному примеру на рис. 11.36 показано несколько статически неопределимых систем и соответствующих им шарнирных механизмов.

Рис. 11.36

Для систем, показанных на рис. 11.36, а-г, соответственно имеем

Расстояние а подбираем из условия максимума изгибающего момента в шарнирах А. Полагая, что на расстоянии а от опор поперечная сила равна нулю, находим

При изменении формы поперечного сечения в полученных выражениях меняется только Л/аред.

Пример 11.10. Определить Мпред для круглого и треугольного поперечных сечений.

Рис. 11.37

В обоих случаях зона пластичности охватывает все сечение (рис. 11.37), и предельный момент представляет собой момент сил, выражающихся через постоянное напряжение ат.

Для круга как то

Для треугольного сечения сначала необходимо найти положение оси раздела, т.е. высоту . Ее определяют из условия равенства нулю нормальной силы в сечении или равенства площадей верхней растянутой и нижней сжатой зон.

Предельный момент равен сумме моментов сил в обеих зонах: