13.3. Задача Эйлера

Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простейшей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатого силой Р, линия действия которой совпадает с осевой линией стержня (рис. 13.9, а). Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине XVIII века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: “задача Эйлера” или “устойчивость стержня по Эйлеру .

Рис. 13.9

Положим, что по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся. Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. На рис. 13.9, б показана часть стержня и действующие на нее силы. Отсеченная часть стержня находится в равновесии, поэтому сумма моментов относительно точки О равна нулю:

или

Изгиб стержня при потери устойчивости происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под здесь следует понимать минимальный момент инерции сечения.

Обозначим

Тогда уравнение (13.5) примет вид

откуда

Постоянные находим из граничных условий . В рассматриваемом случае имеем при при

В результате получаем систему однородных алгебраических уравнений

Как известно из линейной алгебры, чтобы система однородных линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, находим

В данном простом примере уравнение (13.9) можно получить и без выписывания определителя. Из условия при следует, что , а из условия при получаем Произвольная постоянная . При получаем тривиальное которое нас не интересует, так как при новой форме равновесия стержня его осевая линия не прямолинейна. Поэтому Но в более сложных задачах, требующих использования вычислительной техники, для определения критических сил определитель необходим.

Из уравнения (13.9) следует, что где - произвольное целое число. Учитывая выражение (13.6), получаем Это означает, что для того чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р

принимала определенное значение. Наименьшая сила Р, отличная от нуля, будет при

Эта сила носит название эйлеровой или критической силы.

При имеем и уравнение упругой линии (13.8) принимает вид

Стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом

При любом целочисленном значении

и упругая линия стержня изображается кривой в виде полуволн (рис. 13.10).

Рис. 13.10

Линеаризованное уравнение (13.5), как и уравнение (13.2), является приближенным и верно лишь при сколь угодно малых прогибах. С его помощью мы определили и форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. Но при этом константа в выражении для упругой линии осталась неопределенной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью до постоянного множителя.

Для описания закритического поведения стержня при больших прогибах следует использовать полное нелинейное уравнение равновесия. Поскольку при больших прогибах где - радиус кривизны изогнутой оси стержня, то из уравнения (13.4) находим

При силе Р, большей критической, перемещения столь велики, что пренебрегать величиной в знаменателе нельзя.

Наконец, из рассмотренного примера видно, что у сжатого стержня существуют высшие формы равновесия которым соответствуют и большие значения сил. Эти формы в чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но если стержень снабдить промежуточными равноотстоящими одна от другой опорами, то соответственно числу пролетов можно определить и критическую силу.