В3. Силы внешние и внутренние. Уравнения равновесия стержня

Силы подразделяют на внешние, приложенные к конструкции, и внутренние, возникающие в элементах конструкции. На рис. В2 показаны внешние силы, приложенные к стержню.

Различают поверхностные, как на рис. В2, и объемные внешние силы. Поверхностные силы могут быть приложены к малым участкам поверхности (это сосредоточенные силы, например на рис. В2) или к конечным участкам поверхности (это распределенные силы, например и на рис. В2 и ВЗ). Они характеризуют взаимодействие конструкции с другими конструкциями или с внешней средой, например взаимодействие конструкций с потоком воздуха (см. рис. ВЗ, В6) или

жидкости (см. рис. В9). Объемные силы распределены по объему тела (например, на рис. ВЗ). Это силы тяжести, магнитного притяжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции. К числу внешних относят не только заданные силы, которые часто трактуют как первопричину возможного разрушения, но также и реакции связей (например, сила показанная на рис. В9).

Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта характеризуют внутренние силы. Они возникают не только между отдельными взаимодействующими узлами конструкции, но также и между всеми смежными частицами объекта при нагружении.

Рассмотрим стержень, показанный на рис. В11. Внутренние силы в стержне можно наглядно представить, если мысленно рассечь его на две части. Такой прием выявления внутренних сил в сопротивлении материалов носит название метода сечений. Наиболее удобно рассматривать сечения, ортогональные осевой линии стержня.

Рис. В11

Метод сечений основан на следующем принципе: если конструкция под действием внешних сил находится в равновесии, то и любая ее часть находится в равновесии. Этот принцип позволяет установить связь между внешними и внутренними силами.

Так как связи между выделенными частями стержня устранены, необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой сил в сечении, т.е. ввести систему внутренних сил и М, где - вектор

внутренних сил; вектор внутренних моментов в сечении А стержня (см. рис. В11). Таким образом, внутренние силы определяют взаимодействие между частицами тела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения.

В различных сечениях возникают, естественно, различные внутренние силы. Внутренние силы по принципу действия и противодействия всегда взаимны. Правая часть действует на левую точно так же, как левая на правую, и система сил, возникающих в плоскости обратна по знаку системе сил, действующих в плоскости Внутренние силы распределяются некоторым образом по поверхности проведенного сечения, но во всех случаях они должны быть такими, чтобы удовлетворялись условия равновесия для правой и левой частей стержня в отдельности.

Например, как следует из основных положений статики, для правой части стержня (см. рис. В11) систему пространственных сил и моментов можно привести к точке О сечения (центру тяжести сечения). В результате получим главный вектор сил М и главный момент Опуская индекс запишем уравнения равновесия правой части стержня:

где - вектор внутренних сил, приведенных к точке О - центру тяжести сечения; М - вектор момента от внутренних сил относительно точки (рис. В12). Каждое из векторных уравнений в проекциях на декартовы оси дает три

Рис. В12

скалярные уравнения, позволяющие (если среди внешних сил нет неизвестных реакций) определить три проекции вектора внутренних сил и три проекции вектора момента М как на оси z, у, х, так и на связанные с сечением оси Если, например, для проекций вектора сил и проекций вектора момента М в связанной системе ввести соответственно обозначения то векторы и для произвольного сечения можно представить так:

В сопротивлении материалов приняты следующие обозначения и определения для проекций векторов Q и М: - осевая сила, направленная по касательной к осевой линии стержня; - перерезывающие силы; - крутящий момент] - изгибающие моменты. Уравнения равновесия конечной части стержня позволяют наглядно представить связь между внешними и возникающими при нагружении внутренними силами. Если считать стержень (в более общем случае конструкцию) абсолютно жестким и прочным, как это принято в теоретической механике, то внутренние силы особого интереса не представляют. Считая конструкцию абсолютно жесткой ( не деформируется) и абсолютно прочной (не разрушается), предполагают, что конструкция может выдержать любые нагрузки.

Однако опыт показывает, что это, к сожалению, далеко не так. Реальные конструкции под действием внутренних сил деформируются и при превышении определенных значений внутренних сил становятся неработоспособными. Поэтому в механике сплошной среды основное внимание уделяется анализу внутренних сил, что можно сделать, если рассматривать равновесие не конечной части стержня, пластины или оболочки, а бесконечно малого их элемента (это основной метод исследования в механике сплошной среды).

Недостатком уравнений равновесия (В1), (В2) является, как уже говорилось выше, то, что использовать их можно только тогда, когда все внешние силы, приложенные к отсеченной

части стержня, известны. Но если на стержень наложены локальные связи (например, шарнирное закрепление, как показано на рис. В9), то эти уравнения малополезны. Кроме того, получить из этих уравнений зависимость внутренних сил, например, от осевой координаты (см. рис. В11) практически невозможно.

Поэтому рассмотрим общий метод, позволяющий исследовать внутренние силы, возникающие в стержне при любых внешних силах и условиях его закрепления. Рассмотрим элемент стержня бесконечно малой длины показанный на рис. Элемент находится в равновесии, так как стержень в целом находится в равновесии. Поэтому внешние нагрузки, действующие на элемент стержня (распределенные сила и момент и внутренние сила и момент М должны быть уравновешены. Считается, что линии действия распределенной силы проходят через осевую линию стержня. Внутренние сила и момент М в общем случае изменяются по длине стержня, поэтому в правом и левом сечении они отличаются между собой на бесконечно малые приращения

Рис. В13

Элемент стержня находится в равновесии, поэтому сумма сил равна нулю:

или

Сумма моментов от распределенных и сосредоточенных сил и моментов, например, относительно точки О (см. рис. В13) - центра тяжести левого сечения - должна быть равна нулю, т.е.

После преобразования, сохраняя только слагаемые первого порядка малости, получаем

где - векторное произведение единичного вектора направленного по касательной к осевой линии стержня, и вектора внутренних сил Момент от распределенной силы

не учитываем, так как он является величиной второго порядка малости.

Векторные уравнения равновесия являются инвариантными (независимыми) по отношению к системе координат. Уравнения справедливы при исследовании как прямолинейных (см. рис. В5, В6), так и криволинейных плоских стержней (см. рис. В4, В9), а также пространственно-криволинейных стержней (см. рис. В8). В последующих главах учебника будут более подробно рассмотрены частные случаи общих уравнений равновесия (В5), (В6).

В качестве примера получим уравнения равновесия для прямолинейного стержня, нагруженного произвольной по направлению распределенной силой (рис. В14).

Вектор q в декартовых осях можно представить так:

Аналогично можно записать векторы Q и М:

Рис. В14

Из уравнения (В5) можно получить три скалярные уравнения равновесия прямолинейного стержня, считая, что осевая линия стержня мало отклоняется при нагружении от прямой (т.е.

При малых отклонениях точек осевой линии от прямой можно положить поэтому векторное произведение

Из векторного уравнения (В6) получаем три скалярные уравнения

Если на каком-то участке стержня в поперечных сечениях возникает нормальная сила а прочие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие в зависимости от направления силы Если в поперечном сечении возникает только момент то в данном сечении стержень испытывает кручение. Наконец, в случае, если внешние силы приложены таким образом, что в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент имеет место чистый изгиб

в плоскости Обычно в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, ) действует и поперечная сила Такой случай нагружения называется поперечным изгибом (в плоскости Возможны случаи нагрузок, когда стержень работает на кручение, изгиб и растяжение (сжатие) одновременно.