13.5. Устойчивость плоской формы изгиба прямолинейного стержня
Хорошо известно, что в некоторых случаях плоская форма изгиба стержня становится неустойчивой и при потере устойчивости происходит изгиб в плоскости 
и одновременно возникает кручение. Это наблюдается у стержней, имеющих большую жесткость в плоскости 
внешних сил и малую жесткость - в плоскости 
Рассмотрим стержень (рис. 13.18), нагруженный на концах моментами, действующими в вертикальной плоскости. Условия закрепления на концах будем считать допускающими свободный поворот сечения при изгибе как в одной, так и в другой плоскости и в то же время запрещающими поворот при кручении. Жесткость в плоскости заданных внешних моментов предполагаем достаточно большой. Это позволяет считать, что до потери устойчивости стержень сохраняет в основном прямолинейную форму.
Представим себе, что стержень изогнулся в плоскости, перпендикулярной плоскости моментов 
и одновременно
закрутился. На рис. 13.18 форма изогнутого стержня показана так, что перемещение у и его первая и вторая производные положительны. Это исключает ошибку в знаках при составлении уравнений.
Рис. 13.18
В произвольном сечении, расположенном на расстоянии z от левого конца, изгибной момент относительно оси 
(см. рис. 13.18) равен
где 
— угол поворота рассматриваемого сечения относительно продольной оси. Знак минус поставлен в связи с тем, что изгибной момент направлен в сторону уменьшения кривизны. Крутящий момент в том же сечении равен
где 
— составляющая момента 
относительно оси 
(см. рис. 13.18); 
- угол поворота сечения относительно вертикальной оси.
Пользуясь известными соотношениями
получаем следующие дифференциальные уравнения:
Здесь под 
понимается жесткость стержня на изгиб в направлении, перпендикулярном плоскости действия внешних
моментов 
Величина 
представляет собой жесткость на кручение. Исключив из уравнений (13.30) в, получим
где
отсюда
Функция 
должна обращаться в нуль при 
Значит, 
Как и для шарнирно защемленного стержня, 
Наименьшее, отличное от нуля значение критического момента определяется из условия 
Согласно выражению (13.31), находим
Выражение (13.32) принимает вид (рис. 13.19, а):
Рис. 13.19
Воспользовавшись методом приведения длины, как это делали для сжатых стержней, можно установить, что в случае защемленных концов (рис. 13.19, 6)
Задачи об устойчивости плоской формы изгиба при нагружении стержня поперечными силами оказываются существенно более сложными, чем рассмотренная выше, поскольку изгибающий момент в плоскости нагружения меняется вдоль оси.
