7.6. Деформированное состояние

Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Расстояние между положением некоторой точки А до и после изменения формы тела (рис. 7.26) называется ее полным перемещением. Составляющие вектора полного перемещения по осям х, у и z обозначаются соответственно через и

Рис. 7.26.

Рассмотрим элементарный отрезок направление которого совпадает с направлением оси х (рис. 7.27, а). Расстояние между точками А и В обозначим через Составляющие вектора перемещения в точке В отличаются от составляющих в точке А на величины, соответствующие изменению координаты х. Так, если точка А перемещается вдоль оси на то точка В перемещается на и т. д.

Рис. 7.27

Приращение длины отрезка АВ составляет Следовательно, относительное удлинение в точке А по оси х будет Аналогично

Угол поворота отрезка АВ в плоскости равен отношению разности перемещений точек В и А вдоль оси z к длине отрезка т. е. Угол поворота отрезка в плоскости (рис. 7.27, б) равен Сумма углов представляет собой изменение прямого угла т.е. угол сдвига в плоскости Аналогично могут

быть написаны выражения для углов сдвига в двух других координатных плоскостях.

В итоге имеем следующую связь между перемещениями и деформациями в точке:

Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, носит название деформированного состояния в точке, а и называются компонентами деформированного состояния.

Возникает естественный вопрос, достаточно ли этих шести компонент, чтобы определить деформированное состояние, т.е. можно ли по этим шести компонентам найти удлинение по любой оси и углы сдвига в любых плоскостях, проходящих через данную точку?

На этот вопрос можно ответить утвердительно. Рассмотрим некоторую ось и, проходящую через заданную точку (рис. 7.28, а). Направляющие косинусы прямой будут Выделим на этой прямой малый отрезок и построим на нем, как на диагонали, параллелепипед со сторонами (рис. 7.28, б).

Рис. 7.28

Если параллелепипед получает удлинение точка А смещается вдоль оси на а диагональ ОА получает абсолютное удлинение Относительное удлинение диагонали получим, разделив это произведение на

В итоге обнаруживаем, что удлинение вносит в удлинение слагаемое Аналогичные слагаемые дают удлинения Теперь положим, что нижняя грань параллелепипеда остается на месте, а верхняя вследствие сдвига в плоскости получает вдоль оси х перемещение Это удлиняет диагональ на делим это произведение на и видим, что сдвиг приводит к увеличению на Остальные слагаемые можно написать по аналогии. Суммируя их, получаем

Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя взаимно перпендикулярными прямыми и (см. рис. 7.28, б). Для этого надо найти перемещение точки А по направлению и разделить его на Это дает угол поворота отрезка в плоскости Затем все то же самое проделываем для отрезка, расположенного по оси Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно. Деформированное состояние в точке определяется шестью компонентами.

Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с найденным ранее для напряжения выражением (7.4). Эти соотношения имеют общую структуру, и все, что было получено ранее из выражения (7.4), можно получить и из (7.17). Достаточно только во всех формулах заменить на на

Таким образом, анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогичными свойствам напряженного состояния. Среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе - главными деформациями.

Главные деформации определяются из кубического уравнения

коэффициентами которого являются инварианты деформированного состояния:

Из сопоставления этих выражений с соотношениями (7.8) и (7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, а аналогом касательного напряжения - половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в напряжениях, построить круги Мора в деформациях.

Анализ деформированного состояния основан на чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное остается справедливым для любого однородного тела, независимо от механических свойств материала.

Наряду с линейной и угловой деформациями в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда объемную деформацию, т. е. относительное изменение объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда в результате деформации меняются и становятся равными Абсолютное приращение объема определяется, очевидно, разностью

Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первыми степенями, получаем

Относительное изменение объема обозначается буквой и равно сумме линейных деформаций по трем осям:

С поворотом осей относительное изменение объема в точке, очевидно, не меняется. Это - один из инвариантов деформированного состояния (см. формулу (7.18)).