9.3. Определение напряжений в составных трубах

Выше мы уже показали, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимой прочности трубы. В пределе при бесконечно большой толщине аэив

Если в толстостенном сосуде надо удержать высокое давление, например в необходимо, чтобы предел текучести материала был бы по крайней мере в два раза большим, т.е. Следовательно, для сосудов высокого давления необходимо искать какие-то новые конструктивные решения. Одним из таких решений является создание составных, соединенных с натягом цилиндров. Этот прием используют как в технике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий.

Рис. 9.11

Положим, мы имеем два цилиндра (рис. 9.11). Внутренний радиус первого цилиндра обозначим через а, а внешний - через с. У второго цилиндра внутренний радиус на меньше

наружного радиуса первого цилиндра, т.е. равен . Внешний радиус второго цилиндра равен Бели большой цилиндр нагреть, то отверстие в нем увеличится и первый цилиндр может быть свободно вставлен во второй. При остывании между цилиндрами возникает контактное давление Определим его.

При посадке внешний радиус внутреннего цилиндра сократится и точки цилиндра на контактной поверхности получат отрицательное смещение Внутренний радиус внешнего цилиндра увеличится. Здесь, следовательно, возникает положительное смещение Размер должен быть равен натягу

Перемещение можно определить по формуле (9.13), если положить в ней заменить на с. Тогда получим

По той же формуле определяем и Для этого полагаем Тогда

Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона у. предполагаем для обоих цилиндров одинаковыми.

Согласно выражению (9.16), находим

Таким образом, в результате посадки внутренний цилиндр оказывается под действием внешнего давления а внешний - под действием точно такого же внутреннего давления. Картина распределения напряжений в сопряженных цилиндрах показана на рис. 9.11.

Если теперь составной цилиндр нагрузить внутренним давлением, то обе его части будут работать как одно целое, и в составном цилиндре возникнут напряжения, определяемые

формулой (9.14). Эти напряжения должны быть алгебраически просуммированы с предварительными напряжениями натяга (рис. 9.12). Во внутренних, наиболее напряженных точках рабочие напряжения и напряжения натяга имеют разные знаки.

Рис. 9.12

Поэтому суммарное напряжение здесь снижается и составной цилиндр способен выдержать большее давление, нежели обычный. Нужно, однако, помнить, что вследствие натяга увеличиваются напряжения в зоне контакта у внешнего цилиндра. Поэтому натяг следует подбирать для заданного рабочего давления таким, чтобы была обеспечена прочность не только внутреннего, по и внешнего цилиндра. Легко составить условие равнопрочности цилиндров (см. рис. 9.12):

Согласно выражению (9.10), получим: в точке А

в точке В

Приравняв эти выражения, находим

Бели подставить сюдарк из выражения (9.17), то найдем натяг А, который обеспечивает условие равнопрочности при заданном рабочем давлении

Если, наконец, исключить из выражения (9.18) контактное давление то получим

Это напряжение имеет минимум при

Полученные соотношения носят название условий Гадолина, по имени русского ученого, впервые их получившего.

Сопоставляя выражения (9.21) и (9.15), видим, что посадка труб приводит к заметному снижению эквивалентного напряжения. Для сравнения рассмотрим отношение выражений егэкв, полученных по этим формулам:

Если внутренний радиус цилиндра а мал, то посадка труб по соотношениям Гадолина дает почти двукратное снижение эквивалентного напряжения. Для тонкостенных труб, т.е. при а посадка труб не дает эффекта.

В технике высоких давлений, кроме посадки, применяют так называемое автофретирование, которое заключается в предварительной нагрузке цилиндра внутренним давлением, большим рабочего, с таким расчетом, чтобы во внутренних слоях цилиндра возникали пластические деформации. После снятия давления во внешних слоях цилиндра сохраняются упругие напряжения растяжения, а во внутренних слоях возникают напряжения сжатия (рис. 9.13).

Рис. 9.13

В дальнейшем при нагрузке цилиндра давлением остаточные напряжения суммируются с рабочими так, что во внутренних слоях имеет место частичная разгрузка. Материал цилиндра не получает пластических деформаций, если только рабочее давление не превышает давления предварительного обжатия.

Пример 9.2. Подобрать размеры диаметров и натяг для двуслойного орудийного ствола, имеющего внутренний диаметр мм. Максимальное давление в момент выстрела Материал - сталь, Запас прочности должен быть не менее чем двукратный.

По формуле (9.21) определяем размер

Промежуточный радиус с представляет при этом среднее геометрическое между a и b: Численные значения диаметров таковы: мм.

Выражение (9.20) после подстановки принимает вид

Отсюда натяг

Пример 9.3. Стальной стержень установлен с натягом в стальной плите (рис. 9.14). Какую силу следует приложить к стержню в осевом

Рис. 9.14

направлении, чтобы вытянуть его из плиты? Известны натяг мм; диаметр стержня мм, толщина плиты мм, коэффициент трения между плитой и стержнем

Пренебрегая особенностями, связанными с неравномерным натягом по толщине плиты, примем, что искомая сила представляет собой силу трения

Контактное давление определим по формуле (9.17), если примем

Искомая сила .