Глава 11. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ

11.1. Отличительные особенности расчета и схематизация диаграммы растяжения

Все рассмотренные до сих пор вопросы относились к расчету элементов конструкций в пределах упругих деформаций. Однако многообразие возникающих на практике задач далеко выходит за рамки, очерченные законом Гука, и сплошь и рядом приходится рассматривать вопросы, связанные с пластическими деформациями тел. Сюда относятся в основном задачи исследования некоторых технологических операций, таких, например, как навивка пружин или штамповка различных изделий. С учетом пластических деформаций рассчитывают сильно напряженные элементы конструкций типа оболочек ракетных двигателей и многие другие.

При решении подобного рода задач закон Гука теряет свою силу, и прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями заменяется некоторой более сложной зависимостью, определяемой видом диаграммы растяжения. Если

в обычных задачах деформации не превышают величины ОА (рис. 11.1), то при расчете с допуском пластических деформаций такое ограничение снимается, и величина оказывается существенно большей. Вместе с тем она остается по-прежнему пренебрежимо малой по сравнению с единицей. В таком случае говорят, что расчет ведут в пределах малых пластических деформаций. Понятно, что можно также ставить вопрос и о расчетах при больших пластических деформациях. Такие задачи возникают, например, при анализе кузнечнопрессовых и вытяжных технологических операций. Этих вопросов, однако, мы касаться не будем.

В связи с малостью пластических деформаций к классу задач, рассматриваемых в настоящей главе, полностью применим принцип неизменности начальных размеров, и при составлении уравнений равновесия можно считать, что пластически деформированная система мало отличается от недеформированной.

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Что же касается второго основополагающего принципа, т.е. принципа независимости действия сил, то в данном случае он оказывается неприменимым. Это хорошо иллюстрирует пример, представленный на рис. 11.2. Положим, что стержень нагружен силами первая из которых вызывает

пластические деформации. При прямой и обратной последовательности приложения сил удлинения стержня, как видим, оказываются различными.

Зависимости между напряжениями и деформациями при нагрузке и разгрузке не совпадают. В соответствии с этим принято различать активное и пассивное деформирование образца. При активном деформировании, или, как говорят обычно, активной деформации, напряжение возрастает, при пассивной - уменьшается. Таким образом, участок диаграммы (см. рис. 11.1) соответствует активной, - пассивной деформации. Деформацию, измеряемую отрезком (см. рис. 11.1), можно рассматривать как сумму чисто пластической, необратимой деформации и упругой деформации которая восстанавливается после снятия нагрузки. Таким образом, деформация образца не является ни чисто пластической, ни чисто упругой.

При больших нагрузках в некоторых случаях можно пренебречь упругими деформациями по сравнению с пластическими. Если пластические и упругие деформации являются величинами одного порядка, их называют упругопластическими деформациями. Этот же термин употребляют по отношению к деформации различных тел, в которых имеются области упругих и области пластических деформаций.

В связи с возникновением в работающей конструкции пластических деформаций весьма существенным является вопрос общих принципов ведения расчета. При пластических деформациях нельзя, как правило, пользоваться методом расчета по допускаемым напряжениям. В этом случае о пригодности конструкции судят либо по возникающим перемещениям, либо по предельной, или разрушающей нагрузке.

Для того чтобы ввести в расчетные формулы зависимость диаграмму растяжения необходимо схематизировать.

При упругих деформациях на участке ОА (см. рис. 11.1) диаграмма растяжения близка к прямой, и можно с весьма большой степенью точности принять, что а пропорционально .

Дальнейшую схематизацию участков диаграммы проводят различными способами в зависимости от вида диаграммы и от предполагаемого метода решения конкретной задачи.

В случае, если диаграмма материала имеет площадку текучести, как, например, для малоуглеродистых сталей, можно приближенно представить диаграмму в виде двух прямых (рис. 11.3, а). До предела текучести имеет место обычная линейная зависимость, а дальше, когда напряжение а становится равным пределу текучести , напряжение не зависит от деформации, т.е. .

Рис. 11.3

Понятно, что при достаточно больших удлинениях эта закономерность теряет свою силу точно так же, как теряет свою силу и закон Гука. Диаграмма, показанная на рис. 11.3, а, носит название диаграммы идеальной пластичности.

Зависимость между а и можно также представить в виде двух прямых и для некоторых диаграмм, где отсутствует площадка текучести (рис. 11.3, б). При имеем

при

где Е и - угловые коэффициенты прямых. Значение обычно существенно меньше Е. Подобные диаграммы свойственны большей частью легированным сталям.

Для некоторых материалов, как, например, для отожженной меди, диаграмма не имеет явно выраженного упругого участка (рис. 11.4). В этом случае кривая может быть представлена степенной зависимостью

Рис. 11.4

Рис. 11.5

где - постоянные, которые подбирают так, чтобы принятая зависимость на участке рабочего изменения возможно ближе подходила к экспериментально снятой кривой.

Существенно отметить, что схематизация конкретного участка диаграммы зависит еще и от того, сколь широки пределы изменения деформаций в рассматриваемой задаче. Так, если ожидаемые деформации лежат в пределах от (рис. 11.5), диаграмму следует схематизировать прямыми ОА и Если же необходимо исследовать поведение системы в пределах больших деформаций, например в пределах диаграмма может быть схематизирована прямыми ОА и

В ряде случаев упругой деформацией по сравнению с пластической можно пренебречь. Тогда диаграмму растяжения схематизируют прямыми и АВ (рис. 11.6). До напряжений, не превышающих предела текучести, тело рассматривают как жесткое, при больших напряжениях его считают пластическим. Материал, наделенный такими свойствами, называется жесткопластическим.

Рис. 11.6

Так или иначе, но во всех случаях функцию, которой заменяют диаграмму растяжения, подбирают в первую очередь в зависимости от формы кривой. Если в дальнейшем оказывается, что выбранная функция при решении конкретной задачи

приводит к громоздким вычислениям, выбирают новую функцию с таким расчетом, чтобы, с одной стороны, она продолжала служить достаточно точным приближением к диаграмме растяжения, а с другой - сложность вычислений не была чрезмерной.

Во многих случаях вместо подобранной аналитической зависимости пользуются графическими, графоаналитическими или численными методами решения. С простейшими из этих методов мы ознакомимся ниже.