7.7. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния

До сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривали независимо одно от другого и не связывали со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного - с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке.

Для того чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис. 7.29).

Рис. 7.29.

В любой из координатных плоскостей, например угловая деформация определяется только соответствующим касательным напряжением Две другие пары касательных напряжений, а также нормальные напряжения не будут влиять на что является следствием свойств изотропного материала.

Сказанному можно дать следующее объяснение. Допустим, что на гранях элемента возникают только касательные напряжения (рис. 7.30, а). Спрашивается, может ли при этом появиться угловая деформация в плоскости, перпендикулярной плоскости действия касательных напряжений

Рис. 7.30

Если эта деформация возникает, то указать ее знак для изотропного материала невозможно, поскольку “предпочтительность” того или иного направления для не обнаруживается, а в свойствах материала она отсутствует. Положим, например, что сдвиг происходит в направлении, указанном на рис. 7.30, а. Тогда, поворачивая элемент на 180° относительно оси получаем точно ту же систему сил и противоположный знак (рис. 7.30, б). Ясно, что указанное противоречие устраняется только в том случае, если Следовательно, принимая принцип независимости действия сил, можно сказать, что угловая деформация от не зависит. Аналогичным образом доказывается, что она не зависит от всех прочих компонент напряженного состояния, кроме Для анизотропного материала приведенные соображения не имеют

силы. В итоге для трех угловых деформаций получаем

Из этих выражений видно, что для изотропного тела главные оси напряженного и деформированного состояний совпадают, поскольку одновременно с касательными напряжениями обращаются в нуль и угловые деформации.

Подобно тому как угловые деформации не зависят от нормальных напряжений, линейные деформации не зависят от касательных напряжений. Это может быть довольно просто показано при помощи приведенных выше рассуждений. Кроме того, это следует также и из теоремы взаимности работ (см. § 5.6). Если нормальные напряжения не вызывают сдвига, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то касательные напряжения не вызывают линейных смещений, на которых могли бы совершить работу нормальные силы.

Относительное удлинение в направлении оси х, обусловленное напряжением равно Напряжениям соответствуют удлинения по оси х обратного знака, равные Следовательно,

Такие же выражения получаем по аналогии и для . В итоге

Сложив левые и правые части этих равенств, получим выражение объемной деформации (7.19) в виде

Полученные соотношения (7.20) - (7.22) являются аналитическим выражением обобщенного закона Гука для изотропного тела.

Выражение объемной деформации (7.22) позволяет установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала. Оно справедливо для любого напряженного состояния и применимо, в частности, при . В этом случае

При положительном изменение объема должно быть также положительным, а при отрицательном - отрицательным. Это возможно только в том случае, если Следовательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать 0,5.

Полученный вывод, несмотря на то, что он вытекает из частного случая напряженного состояния, является общим, поскольку у, является характеристикой материала и в пределах упругих деформаций от напряженного состояния не зависит.

Перейдем к определению потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния. Очевидно, потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема. Нормальная сила (см. рис. 7.29) на перемещении совершает работу. Эта работа равна

где - относительное удлинение вдоль оси х, вызванное всеми действующими силами.

Аналогичные выражения работ дают и остальные нормальные составляющие. Касательная сила на перемещении совершает работу

(см. также § 2.1). Выражения для остальных слагаемых внутренней энергии получаем простой перестановкой индексов. В итоге имеем

Бели энергию отнести, как это обычно делают, к единице объема и, кроме того, по формулам (7.20) и (7.21) выразить деформации через напряжения, то окончательно получим

или в главных напряжениях

Для того чтобы найти потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела:

Выведем выражения для так называемых энергии изменения формы и энергии изменения объема. Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состояниями.

Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным; в его основе лежит следующий принцип.

Каждое из главных напряжений представляют в виде суммы двух величин:

в результате чего напряженное состояние разбивается на два. Первое из них представляет собой всестороннее растяжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряженного состояния (рис. 7.31). Напряжения подбирают с таким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительном напряженном состоянии отсутствовало, т. е.

Рис. 7.31

Складывая выражения (7.25), получают

При указанном условии система сил первого напряженного состояния не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, поэтому внутреннюю энергию разбивают на две части, соответствующие двум напряженным состояниям:

где об - энергия изменения объема, а - энергия изменения формы, или энергия формоизменения.

Подставляя в выражение (7.24) вместо всех главных напряжений величину из (7.26), получают для первого состояния

Энергию формоизменения можно найти, вычитая об из После несложных преобразований имеем

или

Если это выражение написать для произвольных осей, то в соответствии с (7.23)

В частном случае всестороннего равномерного сжатия или растяжения, т. е. при

При чистом сдвиге, т. е. если составляющие потенциальной энергии имеют вид

Сравнивая выражение (7.27) с (7.12), а (7.28) с (7.11), легко заметить любопытную особенность: энергия изменения объема и энергия формоизменения соответственно пропорциональны квадратам нормального и касательного октаэдрических напряжений.