7.4. Круговая диаграмма напряженного состояния

Как мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчетов на прочность в сложном напряженном состоянии. Поэтому вычислять значения главных напряжений приходится довольно часто.

Однако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.8). Дело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение одной из главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее. Тогда две другие главные площадки можно определить в семействе площадок, перпендикулярных первой, что значительно упрощает задачу.

Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, показанной на рис. 7.13. Эта призма образована путем сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой, которая, независимо от угла наклона а, остается параллельной одной из главных осей. В данном случае такой осью является главная ось у.

Проецируя все силы, действующие на отсеченную призму, на оси, параллельные векторам (см. рис. 7.13, б), получим

или

Эти выражения можно переписать в виде

Таким образом определяют напряжения в семействе площадок, параллельных одной из главных осей. Выражениям

(7.15) можно дать простое геометрическое толкование. Перенесем полусумму главных напряжении левую часть первого уравнения. Далее, возводя в квадрат левые и правые части уравнений, исключаем угол а. Получим

В системе координат это есть уравнение окружности, центр которой находится на оси а на расстоянии от начала координат. Радиус окружности равен полу разности главных напряжений. Иначе говоря, окружность построена на отрезке как на диаметре (рис. 7.14). Полученный круг называется кругом Мора, или круговой диаграммой напряженного состояния. Что касается уравнений (7.15), то их можно рассматривать как уравнение окружности, написанное в параметрическом виде. Роль параметра играет угол а, устанавливающий соответствие между точкой окружности и секущей площадкой. Каждой секущей площадке соответствует определенная точка на круге Мора. В частности, если угол секущая площадка совпадает с главной площадкой наибольшего напряжения (точка В на рис. 7.14). Если , секущая площадка совпадает с другой главной площадкой из того же семейства (точка С на окружности).

Рис. 7.14

Показанная на рис. 7.14 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору Аналогичным образом можно построить круги Мора и для семейств площадок,

параллельных векторам . В этих случаях круги строят соответственно на отрезках как на диаметрах. Таким образом может быть построено три круга Мора. Поскольку знак не оговаривают, обычно ограничиваются построением только верхней половины круга (рис. 7.15).

Рис. 7.15

Каждой точке любой окружности соответствует определенная секущая площадка в соответствующем семействе. Понятно, однако, что точки, расположенные на трех кругах, не исчерпывают всего множества секущих площадок. Площадки, не параллельные ни одной из главных осей, не вписываются в рассматриваемую схему.

Можно показать, что секущим площадкам соответствуют на плоскости точки, лежащие внутри заштрихованного криволинейного треугольника образованного тремя совмещенными кругами Мора (рис. 7.16). Имеются также

Рис. 7.16

и методы определения напряжений в соответствующих площадках.

Поскольку ни одна из точек не выходит за пределы заштрихованного криволинейного треугольника, наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга

Это напряжение возникает в площадке, равнонаклоненной к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений, что уже было установлено ранее (см. выражение (7.14)).

Круговая диаграмма может быть построена не только, когда заданы главные напряжения. Достаточно знать напряжения в двух любых площадках из рассматриваемого семейства площадок, параллельных главной оси. Положим, например, задано напряженное состояние, показанное на рис. 7.17, а. Ось у является главной. Среди семейства ей параллельных площадок есть две, в которых напряжения известны. Это площадки I и II. Следовательно, на круговой диаграмме могут быть найдены две соответствующие им точки.

Рис. 7.17

Эти точки должны располагаться на противоположных концах одного диаметра, так как угол между площадками равен 90°, а на круговой диаграмме он удваивается. Однако, поскольку знак напряжений не оговаривали, ординаты обеих точек откладываем вверх. На форме круговой диаграммы это не скажется (рис. 7.17, 6).

Из круговой диаграммы легко определить главные напряжения:

где - радиус круга,

Таким образом,

После того как напряжения найдены, их сопоставляют с и все главные напряжения переименовывают на в порядке убывания.

Пример 7.4. Определить главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рис. 7.18. Напряжения заданы в условных единицах.

Рис. 7.18

В предложенном примере одна из главных площадок и одно из главных напряжений заданы. Следовательно, не прибегая к решению кубического уравнения (7.8), можно остальные главные напряжения определить из круга Мора для семейства площадок, параллельных оси х (см. рис. 7.18).

Наносим на диаграмму точки, соответствующие площадкам I и II, и строим круговую диаграмму:

Следовательно,

При определении главных напряжений можно было бы пользоваться также формулами (7.16). При этом необходимо особое внимание обращать на то, чтобы не ошибаться в индексации напряжений по осям. Рассмотрим еще один пример.

Пример 7.5. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния, показанного на рис. 7.19. Напряжения даны в условных единицах.

Рис. 7.19

Напряженное состояние - плоское. Площадка А является главной. Две другие находятся в семействе площадок, перпендикулярных первой. С тем, чтобы воспользоваться непосредственно формулами (7.16), направим ось у перпендикулярно главной площадке (см. рис. 7.19). Тогда По формулам (7 16) находим Переименовывая напряжения в порядке убывания, получаем