4.2. Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно, чистый изгиб. Под чистым изгибом, как уже указывалось, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент, согласно второму выражению (4.1), остается постоянным Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Некоторые характерные примеры показаны на рис. 4.10.

Рис. 4.10

Отвлекаясь от особенностей приложения внешних сил и условий закрепления стержня в целом, рассмотрим только тот его участок, где и На границах этого участка действуют только моменты рис. 4.10, а).

Под действием моментов М стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае однородного стержня изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного стержня принимает форму дуги окружности.

Легко обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся в пространстве. Действительно, рассмотрим среднее поперечное сечение (рис. 4.11, а). Точки этого сечения по условиям симметрии не могут получить преимущественных смещений ни вправо, ни влево, поскольку и та, и другая стороны полностью равноправны. Следовательно, это сечение остается плоским.

Рис. 4.11

Разрезая стержень на две равные части сечением получаем участки вдвое меньшие, находящиеся точно в тех же условиях, что и целый участок (рис. 4.11, б). Для каждой из полученных половин приведенные рассуждения могут быть повторены (рис. 4.11, в). Следовательно, средние сечения этих половин также остаются плоскими.

Этот процесс деления можно продолжать дальше. Тем самым будет доказано, что в неограниченной близости от любого наперед заданного сечения есть сколь угодно много таких сечений, для которых соблюдается высказанное условие плоских сечений. Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородного стержня при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются.

Это утверждение, будучи точным для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений.

Рис. 4.12

Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений одно относительно другого (рис. 4.12). Рассмотрим два смежных сечения, расположенных между собой на расстоянии (рис. 4.13). Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол верхние слои удлинятся, а нижние - укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем и отметим . В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим:

Произвольно взятый отрезок (см. рис. 4.13) получит приращение длины Так как сечения остаются плоскими,

Рис. 4.13

где у - расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтральной Положение этого отрезка пока неизвестно.

Относительное удлинение АВ равно

Согласно закону Гука,

Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня.

Свяжем теперь напряжение а с внутренними силовыми факторами, возникающими в поперечном сечении стержня при чистом изгибе.

Сумма элементарных (рис. 4.14) дает нормальную силу в сечении. Но при чистом изгибе Поэтому

Рис. 4.14

или, согласно выражению (4.3), откуда

Этот интеграл представляет собой знакомый нам из предыдущей главы статический момент сечения относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, координата у в выражениях (4.2) и (4.3) получает определенность: она отсчитывается от центральной оси, перпендикулярной плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна как кривизна нейтрального слоя, или как кривизна оси стержня.

Внесем некоторую определенность в систему осей х, связанную с сечением (см. рис. 4.14). Начало координат О совместим с центром тяжести сечения. Ось z направим по нормали к сечению, а ось х по нейтральной линии. Ось у перпендикулярна оси х, следовательно, она лежит в плоскости изменения кривизны. Это - так называемая подвижная система осей, положение которой меняется в пространстве при переходе от одного сечения к другому.

Изгибающий момент в поперечном сечении стержня, как и нормальная сила, может быть выражен через напряжения

Заметим, что в общем случае плоскость изгибающего момента в сечении не совпадает с плоскостью рис. 4.14). Иными словами, изменение кривизны стержня происходит не обязательно в плоскости изгибающего момента. Этот общий случай изгиба мы рассмотрим несколько позже, а пока ограничимся более простым частным случаем, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны.

При указанном условии момент элементарных сил относительно оси у равен нулю, а относительно оси х - полному изгибающему моменту М. Тогда получаем

Первое выражение приводится к виду

Это значит, что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом.

Из выражений (4.4) получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента:

где - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента.

Величина называется жесткостью стержня при изгибе. Как и при кручении, она пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении.

Возвращаясь к формуле (4.3) и исключая из нее кривизну получаем выражение для напряжения

Рис. 4.15

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 4.15):

Отношение называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через (измеряется в или

Таким образом,

Эта формула является основной в расчетах на прочность при изгибе.

Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и

Для стержня круглого сечения

Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения.

Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольший момент сопротивления Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по

возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили, показанные на рис. 4.16. При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравнению с прочими формами поперечных сечений.

Момент сопротивления стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и задан в специальных таблицах. Поэтому при расчете стержня на прочность отпадает необходимость проводить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления. В приложении приведены таблицы стандартных профилей. Кроме профилей, приведенных в этих таблицах, существуют и другие профили, например, применяемые в самолетостроении и задаваемые специальными стандартами.

Рис. 4.16

Рис. 4.17

Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении двух сечений (рис. 4.17):

Но

поэтому

При выводе формул для чистого изгиба прямого стержня не было сделано произвольных допущений и найденное решение в этом смысле можно рассматривать как точное. Однако следует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче не конкретизирован характер распределения внешних сил. Считается только, что во всех случаях эти силы сводятся к равнодействующим моментам, приложенным к торцам стержня. Решение будет точным только для случая, если внешние силы на торцах распределены по тому же линеиному закону, что и во всех поперечных сечениях. Практически это условие, понятно, никогда не соблюдается, и в окрестности торцевых сечений законы распределения напряжений далеки от тех, которые следуют из теории чистого изгиба. В соответствии с принципом Сен-Венана имеется возможность, однако, краевую зону исключить, как это показано, например, на рис. 4.18. Тогда для средней части стержня все выведенные выше формулы сохраняют свою силу и могут рассматриваться как точные.

Рис. 4.18

Рассмотрим некоторые простейшие примеры, связанные с определением напряжений в стержне при чистом изгибе.

Пример 4.1. Определить, как выгоднее расположить стержень с квадратным поперечным сечением при изгибе: а) так, чтобы плоскость

Рис. 4.19

момента была параллельна сторонам квадрата, или б) так, чтобы она совпадала с его диагональю (рис. 4.19)?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо подсчитать момент сопротивления в первом и во втором случаях.

В случае а), согласно выражению (4.9), . В случае б) и тогда .

Таким образом, случай а) является более выгодным. В этом случае момент сопротивления оказывается примерно на выше.

Пример 4.2. Определить, какой процент экономии металла будет достигнут, если при неизменных прочих условиях в конструкции, работающей на изгиб, применить вместо сплошного круглого сечения полое сечение с отношением диаметров (рис. 4.20).

Рис. 4.20

Момент сопротивления сплошного круглого сечения определяется формулой (4.10):

Для полого сечения величина представляет собой разность моментов инерции большого и малого круга, деленную на т. е.

Из условия равнопрочности откуда

Расход материала пропорционален площади сечения

Процент экономии материала определяется разностью площадей, отнесенной к площади сплошного круга:

или

Пример 4.3. На рис. 4.21 показана консоль, нагруженная двумя силами Р. Форма сечения балки Т-образная. Материал - чугун.

Спрашивается, как рациональнее расположить сечение: полкой вверх - вариант I, или вниз - вариант II?

Рис. 4.21

Поскольку точка А отстоит от центра тяжести сечения дальше, напряжение в ней по абсолютной величине всегда будет больше, чем в точках В. При указанном направлении сил Р сжатые слои балки располагаются внизу. Так как чугун на сжатие работает лучше, нежели на растяжение, точку А рациональнее поместить вниз. Следовательно, сечение должно быть расположено полкой вверх, т.е. следует предпочесть вариант I.

Пример 4.4. Для двухопорной балки (рис. 4.22) подобрать сечение в виде двутаврового профиля, обеспечив при этом двукратный запас прочности при

Рис. 4.22

Наибольший изгибающий момент возникает на участке чистого изгиба и равен Напряжение не должно превышать половины . Следовательно, откуда

По таблице стандартных профилей (см. приложение) выбираем двутавр для которого

Пример 4.5. Проволока диаметром наматывается на барабан. Диаметр барабана равен Определить напряжение изгиба, возникающее в поперечных сечениях проволоки, если

Кривизна изогнутой проволоки задана: Поэтому, не определяя изгибающего момента, согласно формуле (4.3), сразу находим

Следовательно, при постоянной кривизне напряжение возрастает пропорционально диаметру проволоки.