3.3. Главные оси и главные моменты инерции

Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить моменты инерции относительно осей повернутых относительно первой системы на угол а (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:

Исключим в выражениях моментов инерции:

Тогда

откуда

Рассмотрим два первых уравнения (3.8). Складывая их почленно, получим

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что

где - расстояние от начала координат до элементарной площадки (см. рис. 3.8). Таким образом,

где - уже знакомый нам полярный момент инерции:

значение которого, естественно, не зависит от поворота осей х, у.

При помощи выражения (3.9), в частности, легко определить осевой момент инерции круга относительно диаметра. Так как в силу симметрии получаем но, как известно, следовательно, для круга

С изменением угла поворота осей а значения моментов меняются, но их сумма остается неизменной. Следовательно, существует такое а, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.

Дифференцируя второе выражение (3.8) по а и приравнивая производную нулю, находим

При этом угле а один из осевых моментов будет наибольшим, а другой - наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль, что можно легко установить из третьей формулы (3.8).

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Определим их. Для этого первые две формулы (3.8) перепишем в виде

Учитывая, что

исключаем при помощи выражения (3.10) угол а. Тогда

Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний - минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно глазомерной оценкой установить, которой из двух осей соответствует максимальный, а которой - минимальный момент инерции.

Е ели сечение имеет ось симметрии, то эта ось, очевидно, всегда будет главной (рис. 3.9). Центробежный момент инерции сечений, расположенных по одну сторону от оси, равен моменту сечений, расположенных по другую сторону оси, но противоположен ему по знаку. Следовательно, и оси х и у являются главными.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Рассмотрим примеры определения главных осей и главных моментов инерции.

Пример 3.6. Определить положение главных центральных осей и главных моментов для прямоугольного треугольника, показанного на рис. 3.10.

Для центральных осей, параллельных катетам, имеем Согласно формуле (3.10), находим Если то , и главная ось совпадает с осью

симметрии равнобедренного треугольника. Из формулы (3.11) следует, что

Пример 3.7. Определить положение главных центральных осей и главных моментов для составного сечения (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Положение центра тяжести С для этого сечения уже было найдено выше (см. пример 3.2). Для каждой из составляющих фигур находим моменты инерции относительно произвольно взятых осей

Для треугольника находим

Для прямоугольника получаем

Центробежный момент инерции прямоугольника определим путем переноса осей:

Для полукруга воспользуемся снова методом переноса осей. Сначала определяем моменты инерции относительно центральных осей

Переходя к осям получаем

Суммируя полученные значения моментов инерции для составляющих фигур, находим моменты инерции относительно осей для всего сечения:

Переходим к осям х, у, используя найденные ранее координаты центра тяжести

Согласно формуле (3.10),

На рис. 3.11 отмечено положение главных центральных осей. Согласно формуле (3.11), находим

Ось и, показанная на рис. 3.11, соответствует минимальному, а ось - максимальному значениям момента инерции.