4.8. Косой изгиб

Под косым изгибом, как нам уже известно, понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения. Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб в двух главных плоскостях (рис. 4.51).

Рис. 4.51

Для этого изгибающий момент М раскладывается на составляющие моменты относительно осей х и у:

Нормальное напряжение в точке, имеющей координаты х и у, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами т.е.

или

Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор а, то концы векторов, как и при простом изгибе, образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии в сечении найдем, полагая :

Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента. Действительно, угловой коэффициент следа плоскости момента (см. рис. 4.51, б) представляет собой тангенс угла а:

Угловой же коэффициент нейтральной линии (см. формулу (4.28)) равен

Так как в общем случае то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку Стержень, образно выражаясь, “предпочитает” изгибаться не в плоскости изгибающего момента а в некоторой другой плоскости где жесткость на изгиб будет меньше. Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости момента, а несколько повернута в сторону оси минимального момента инерции (см. рис. 4.51, б).

Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, то максимальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут Тогда, согласно выражению (4.27), получаем

Когда сечение имеет простую форму (круг, прямоугольник), наиболее опасная точка может быть определена сразу. В случае сложной формы сечения удобно прибегать к графическому методу. Для этого сечение вычерчивают в масштабе и проводят главные оси х и у. Затем, согласно формуле (4.28), получаем уравнение и, строим нейтральную линию. При помощи линейки и угольника (рис. 4.52) определяют точку, наиболее удаленную от нейтральной линии, а ее координаты определяют непосредственно с чертежа.

Рис. 4.52

Рис. 4.53

Пример 4.12. Балка равнобокого уголкового профиля (рис. 4.53), защемленная одним концом, находится под действием собственного веса. Требуется определить наибольшее напряжение в заделке. Длина балки профиль толщина стенок профиля мм.

По таблицам стандартных профилей (см. приложение) определяем массу балки на единицу длины - Отсюда Н/см. По формуле находим наибольший изгибающий момент: . Плоскость этого момента параллельна стороне уголка и составляет с главными осями угол . Вычерчиваем в масштабе поперечное сечение (рис. 4.54) и проводим главные центральные оси х и у.

Рис. 4.54

Из таблиц сортамента находим Согласно формуле (4.27), получаем уравнение

нейтральной линии

Проводим эту прямую, и определяем наиболее удаленную от нее точку А (см. рис. 4.54). Координаты этой точки будут см. По формуле (4.29) определяем

Пример 4.13. Двухопорная балка (рис. 4.55, а) нагружена силами Р и 2 Р. Определить наибольшее напряжение, если сечение балки - прямоугольник со сторонами и (рис. 4.55, б).

Рис. 4.55

В данном случае внешние силы приложены по главным осям сечения и удобнее всего рассмотреть раздельно эпюры изгибающих моментов от одной и от другой силы. Наиболее опасными будут точки, расположенные на ребре где суммируются наибольшие сжимающие напряжения, или на ребре где суммируются наибольшие растягивающие напряжения.

Рассмотрим средний участок. На расстоянии от левой опоры (рис. 4.55, в) имеем Для точки ребра

Так как то для среднего участка оказывается не зависящим от z и равным На первом и третьем участках напряжения будут меньшими.