Глава 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ

3.1. Статические моменты сечения

При решении задач, связанных с изгибом, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений стержня. Эти характеристики применяются в основном при решении задач изгиба и в силу своего узкого прикладного значения в общем курсе геометрии не изучаются. Их рассматривают обычно в курсе сопротивления материалов. Настоящая глава и посвящена этому вопросу.

Возьмем некоторое поперечное сечение стержня (рис. 3.1). Свяжем его с системой координат х, у и рассмотрим два следующих интеграла:

Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадей на расстояние до соответствующей оси или Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси х, а второй -

Рис. 3.1

Рис. 3.2

статическим моментом сечения относительно оси у. Статический момент измеряют в или

При параллельном переносе осей статические моменты изменяются. Рассмотрим две пары параллельных осей Пусть а и - расстояния между осями соответственно (рис. 3.2). Положим, что площадь сечения и статические моменты относительно осей т.е. заданы. Требуется определить

Очевидно, Искомые статические моменты будут равны

или

Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент изменяется на величину, равную произведению площади на расстояние между осями.

Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выражений:

Величина может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем

единственным образом) так, чтобы произведение было равно Тогда статический момент относительно оси обращается в нуль.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, произвольно взятой, оси равно

Аналогично для другого семейства параллельных осей

Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равнодействующих сил тяжести. Если уподобить рассмотренное сечение однородной пластинке, то сила тяжести пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади а момент сил тяжести относительно некоторой оси - статическому моменту. Этот момент относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси.

Выражения (3.2) и (3.3) дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, или, наоборот, найти статические моменты, если известно положение центра тяжести.

Рассмотрим простейшие примеры.

Пример 3.1. Найти, на каком расстоянии от основания расположен центр тяжести треугольника (рис. 3.3).

Сначала определим статический момент треугольника относительно

Рис. 3.3

Запишем выражение для элементарной площади: Из подобия треугольников получаем где - основание треугольника; А - его высота.

Таким образом,

После интегрирования находим Расстояние от основания треугольника до центра тяжести

(см. рис. 3.3).

Пример 3.2. Определить положение центра тяжести сложного составного сечения (рис. 3.4).

Разбиваем сечение на три простейшие фигуры: треугольник, прямоугольник и полукруг. Выбираем произвольную систему осей и определяем координаты центров тяжести составляющих сечение фигур.

У треугольника центр тяжести находится на расстоянии 1/3 высоты от основания. Для прямоугольника положение центра тяжести определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести расположен на оси симметрии на расстоянии от вертикального диаметра (см. рис. 3.4).

Последнее выражение (тому, кто не забыл, чему равен объем шара) удобнее всего получить на основании теоремы Гюльдена. Вращая полукруг относительно диаметра, получаем тело вращения - сферу, объем которой равен произведению дуги на площадь полукруга:

Рис. 3.4

Определяем статический момент составной фигуры как сумму статических моментов составляющих фигур:

Таким образом, находим

Площадь составной фигуры равна

Искомые координаты центра тяжести в системе осей имеют следующие значения: