2.2. Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Уравнения равновесия

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.

На рис. 2.9 показан стержень, нагруженный по концам моментами Если посмотреть на плоскость А со стороны внешней нормали (со стороны точки С), то мы увидим, что момент направлен по часовой стрелке. Следовательно,

Рис. 2.9

будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмотреть из точки С на плоскость В.

Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов. На рис. 2.10 показано несколько примеров нагружения стержня сосредоточенными и распределенными внешними моментами. Для этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком - силу, направленную от наблюдателя. На рис. 2.10 приведены соответствующие эпюры крутящих моментов. Положительные моменты отложены вверх.

Рис. 2.10

При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид имеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней.

Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет различным. Сказанное представляет собой гипотезу плоских сечений - предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений.

Окончательным критерием пригодности любой гипотезы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно прежде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом, и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соответствие, гипотеза считается приемлемой.

Надо сказать, что задача о кручении стержня может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости без принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами (см. рис. 2.9). В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент

Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами - элементарное кольцо, показанное на рис. 2.11.

Рис. 2.11

Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол и занимает положение . Отрезок В В равен, с одной стороны, , а с другой . Следовательно,

Угол 7 представляет собой не что иное, как угол сдвига цилиндрической поверхности. Величину обозначают обычно через в:

и называют относительным углом закручивания. Это - угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина в аналогична относительному удлинению при растяжении Вводя обозначение в, получаем

По закону Гука для сдвига

где - касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения образуются в продольных плоскостях - в осевых сечениях (см. рис. 2.11).

Рис. 2.12

Элементарные силы (рис. 2.12) можно привести к крутящему моменту Выполним интегрирование для всей площади поперечного сечения Подставив в подынтегральную функцию напряжение из выражения (2.5), получим Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику, измеряется в и носит название полярного момента инерции сечения:

Таким образом, получаем или

Произведение называют жесткостью стержня при кручении. Если стержень имеет переменное сечение, то зависит от z.

Через относительный угол закручивания в легко определить и взаимный угол поворота сечений Согласно выражениям (2.4) и (2.7),

Уравнение (2.8) и первое уравнение системы при дают систему дэух уравнений равновесия прямолинейного стержня переменного сечения при кручении

Система уравнений (2.9) позволяет определить внутренний крутящий момент и угол поворота сечения для любых в зависимости от координаты z, например для случая показанного на рис. 2.10.

Из уравнения (2.8) получаем

где - расстояние между сечениями, для которых определяют взаимный угол поворота

Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, а жесткость остается постоянной, то

Вернемся теперь к выражению (2.5). Исключив из него , получим

Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси (рис. 2.13). При этом

Величина

Рис. 2.13

Рис. 2.14

называется полярным моментом сопротивления и измеряется в Окончательно имеем

Формулы (2.11) и (2.14) являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения.

Определим теперь геометрические характеристики сечения Для этого подставим в выражение (2.6) вместо площадь пояска (см. рис. 2.12). Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то

где - диаметр сечения, или

Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметром (рис. 2.14), то

или

Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления (см. формулу (2.13)). Для сплошного сечения

для кольцевого сечения (полый вал)

Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, что при заданном крутящем моменте угловые перемещения вала обратно пропорциональны четвертой степени диаметра. Что же касается наибольшего напряжения, то оно, согласно выражениям (2.14) и (2.17), обратно пропорционально кубу диаметра

Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу Из условия парности следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях (рис. 2.15). Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение деревянных образцов.

Рис. 2.15

Дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств. Древесина имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон.

Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 2.16).

Рис. 2.16

Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент показанный на рис. 2.17, то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Следовательно, во всех точках стержня при кручении возникает состояние чистого сдвига, как и при кручении трубки. Здесь, однако, чистый сдвиг не будет однородным, поскольку значение изменяется по радиусу поперечного сечения.

Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45°, то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с значение. При этом одно из них является растягивающим, а второе - сжимающим.

Рис. 2.17

Согласно сказанному, на гранях элемента выделенного из стержня при помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45° к образующим, возникают нормальные напряжения, показанные на рис 2.17.

Наглядной иллюстрацией этого может служить характер разрушения хрупких образцов при кручении. Хрупкие материалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягивающих напряжений. Если подвергнуть испытанию на кручение образец из хрупкого материала, например чугуна, то разрушение произойдет по сложной винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала (рис. 2.19), краской было предварительно нанесено множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы с главными осями, направленными под углом 45° к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей - сжатие.

Рис. 2.19

Рис. 2.20

Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения. Рассмотрим участок закрученного стержня длиной (рис. 2.20). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов приложенных по торцам:

где - взаимный угол поворота сечений. Двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент меняется пропорционально

В полученное выражение подставляем согласно формуле (2.8). Тогда

Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием выражения (2.19) по длине:

Если момент по длине не меняется и жесткость постоянна, то и

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 2.1. Вал передает момент Требуется подобрать размеры поперечного сечения вала для двух случаев: а) для сплошного кругового сечения; б) для кругового сечения с отверстием Сравнить оба сечения по расходу металла. Допускаемое напряжение

Согласно формуле (2.14), для обоих сечений

Для сплошного сечения, согласно выражению (2.17),

Для полого сечения выражения (2.18) получаем

Расход металла пропорционален площади поперечного сечения. В первом случае

во втором -

Таким образом, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (при дает более чем двукратное снижение расхода металла.

Рис. 2.21

То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошного сечения, ясно из рассмотрения эпюры напряжений в сечении вала (рис. 2.21). В центральной части сплошного сечения материал напряжен сравнительно мало и его использование далеко не полно. Для сечения с отверстием напряжения распределены более равномерно (см. рис. 2.21) и степень использования материала повышается.

Пример 2.2. Построить эпюры крутящих моментов, напряжений и углов поворота для вала, показанного на рис. 2.22, а.

Рис. 2.22

Система является один раз статически неопределимой. Поэтому сначала раскрываем статическую неопределимость. Для этого отбрасываем левую заделку и ее действие на вал заменяем моментом (рис, 2.22, б). Этот момент определяется из условия, что поворот левого торцевого сечения относительно правого равен нулю.

Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках и

Согласно формуле (2.11), соответственно этим участкам получаем

где жесткость на участке с диаметром жесткость на участке с диаметром Очевидно,

Учитывая это соотношение, находим

Теперь легко построить эпюру крутящих моментов (рис. 2.22, в), а по формуле (2.14) определить во всех сечениях вала (рис. 2.22, а).

При рассмотрении построенной эпюры напряжений следует учитывать, что в зонах приложения внешних моментов имеет место отклонение действительного закона распределения напряжений в сечении от полученного линейного. Однако, согласно принципу Сен-Венана, эти отклонения носят местных характер и практически не распространяются по оси за пределы расстояний порядка диаметра сечения.

Находим углы поворота сечений. На первом участке угол поворота сечения, расположенного на расстоянии от заделки,

Эта зависимость изображается прямой, показанной на эпюре (рис. 2.22, д). При имеем

На втором участке к этому углу прибавляем

где отсчитываем от левого края второго участка. Так по участкам строим эпюру, показанную на рис. 2.22, д.

Пример 2.3. Имеется система, показанная на рис. 2.23. Рычаги АВ и - абсолютно жесткие. Между ними образован зазор Найти вертикальное перемещение точки приложения силы Р, если жесткости валов I и II на кручение одинаковы и равны

При малой силе Р зазор не перекрывается, и работает только вал II. Искомое перемещение равно, очевидно, или, согласно формуле

После того как зазор закроется, система становится статически неопределимой. Пусть - крутящие моменты, возникающие в валах

Рис. 2.23

Рис. 2.24

I и II. Из условий равновесия

Уравнение перемещений будет следующим:

или, согласно формуле (2.11),

Исключал находим

Искомое перемещение

Выражение (2.21) применимо до значений , не превышающих , т. е. при

Если сила превышает эту величину, перемещение следует определять по формуле (2.22). На рис. 2.24 показана зависимость перемещения от силы Р.