2.5. Кручение тонкостенного стержня

В практике машиностроения, и особенно самолетостроения, часто возникает необходимость расчета на кручение так называемых тонкостенных стержней. Типичные формы прокатанных, гнутых, тянутых и прессованных профилей показаны на рис. 2.31. Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно меньше прочих линейных размеров.

Рис. 2.31

Тонкие профили разделяются на замкнутые и открытые. Так, первые четыре профиля, показанные на рис. 2.31, являются открытыми, а последние три - замкнутыми.

Характер распределения напряжений в поперечном сечении тонкостенного стержня проще всего установить при помощи пленочной аналогии. Представим себе вырезанное в плоской плите отверстие по форме профиля и натянутую на нем пленку. Бели приложить к пленке равномерно распределенную нагрузку, то пленка деформируется, но по-разному, в зависимости от того, замкнутым или открытым является профиль. Это различие иллюстрирует рис. 2.32. В случае замкнутого профиля область внутри контура не связана с внешней областью и под действием давления смещается (см. рис. 2.32, б). Это и предопределяет качественное различие между формами пленки для случаев замкнутого и открытого профилей.

Рис. 2.32

Для открытого профиля пленка имеет наибольшие углы наклона по концам нормального отрезка (см. рис. 2.32, а), причем примерно в середине толщины происходит смена знака угла наклона. С большой степенью точности можно принять, что напряжения по толщине незамкнутого профиля распределены линейно.

В случае замкнутого контура деформированная пленка образует поверхность примерно постоянного угла подъема (см. рис. 2.32, б), откуда следует, что распределение напряжений по толщине профиля близко к равномерному.

Перейдем к составлению расчетных формул. Начнем с открытого профиля. Достаточно очевидно, что форма пленки (см. рис. 2.32, а), а следовательно, и напряжения в стержне сильно не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. Но в этом случае могут быть использованы расчетные формулы, приведенные выше для прямоугольного сечения с большим отношением сторон.

Обращаясь к формулам (2.23), (2.25) и табл. 2.1, при получаем

где - толщина профиля (меньшая сторона прямоугольника); - длина контура поперечного сечения (большая сторона прямоугольника).

Полученные таким образом расчетные формулы являются общими, т.е. не зависят от формы профиля, если только последний может быть развернут в прямоугольник.

В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным, как это, например, показано на рис. 2.33, и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник, поступают следующим образом: момент рассматривают сумму моментов, возникающих в отдельных участках. Тогда, согласно формуле (2.31),

и

При помощи пленочной аналогии легко установить, что наибольшие напряжения возникают на участке с наибольшей толщиной Для этого отдельно взятого участка, которому

Рис. 2.33

Рис. 2.34

мы припишем номер справедливы формулы (2.30) и (2.31):

где - доля крутящего момента, соответствующего участку; - угловое перемещение, единое для всех участков. Исключая из этих выражений находим

или, учитывая выражение (2.32), получаем

Изложенный метод определения напряжений в незамкнутом профиле является приближенным, поскольку не учитываются повышенные местные напряжения во внутренних углах ломаного профиля. Чем меньше радиус закругления во внутренних углах, тем больше местные напряжения. Это наглядно можно проиллюстрировать при помощи пленочной аналогии (рис. 2.34). Местный угол наклона а пленки в точке А больше, чем в остальных точках внутреннего контура. Во избежание местных перенапряжений внутренние углы в профилях выполняют скругленными.

Рассмотрим теперь кручение стержня, имеющего поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 2.35).

Рис. 2.35

Здесь, в отличие от открытого профиля, напряжения распределены по толщине равномерно. Выделим из стержня элементарную призму длиной Размер призмы в направлении дуги контура, т.е. расстояние между точками является произвольным. Пусть толщина контура в точке 1 будет , а в точке Соответственно через обозначим напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях возникают парные напряжения

Составим для выделенного элемента уравнение равновесия, спроектировав все силы на направление оси бруса. Очевидно,

Так как точки 1 к 2 взяты произвольно, то

Таким образом, произведение по длине замкнутого контура не изменяется. На участках, имеющих меньшую толщину, напряжения будут соответственно большими.

Выразим крутящий момент через напряжения . Для этого возьмем на контуре элементарный участок длиной (рис. 2.36). Момент силы относительно произвольно взятой точки О равен Тогда

Рис. 2.36

Но произведение по длине дуги контура не изменяется, поэтому

Произведение представляет собой удвоенную площадь треугольника а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через в отличие от Таким образом,

Наибольшее напряжение

Остается определить угловое перемещение для тонкостенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения. Сделаем это путем сопоставления потенциальной энергии, выраженной через напряжение с потенциальной энергией, выраженной через внешний момент Обратимся к выражению удельной потенциальной энергии при сдвиге (2.3)

Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами равна

Это выражение должно быть проинтегрировано по длине стержня и по дуге замкнутого контура. Если стержень является однородным по длине, то

Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что

получим

Однако энергию можно выразить как работу внешнего момента на угловом перемещении

Приравнивая оба выражения для находим

Если толщина по дуге контура не меняется, то

где - длина замкнутого контура.

Для различных сечений геометрические параметры и входящие в формулы напряжений и углов поворота

Гшах приведены в табл. 2.2.

Пример 2.4. Определить напряжение и угловое перемещение в тонкостенной трубе, ввернутой из листа, для двух вариантов: а) края листа свободны (рис. 2.37, о), б) края листа склепаны (рис. 2.37, б). Сопоставить напряжения и углы поворота сечений.

Рис. 2.37

В первом варианте профиль поперечного сечения следует рассматривать как открытый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединения краев внахлестку, согласно формулам (2.30) и (2.31), получаем

Во втором варианте профиль является замкнутым. Согласно формулам (2.34) и (2.35), имеем

Для более наглядного сопоставления рассмотрим отношения напряжении и углов:

Таким образом, отношение напряжений имеет значение порядка а отношение углов поворота - порядка Но, согласно определению тонкостенности, много больше, чем . Следовательно, замкнутый профиль оказывается существенно более прочным и в еще большей степени жестким, чем такой же незамкнутый.

Этот вывод является общим. Внешний момент, приложенный к стержню с замкнутым контуром сечения, уравновешивается моментами внутренних сил с длиной плеча порядка поперечных размеров сечения, а для открытого профиля - порядка толщины. Отсюда следует, что касательные напряжения в открытом профиле будут во столько раз больше, чем в замкнутом, во сколько поперечные размеры сечения больше его толщины.

Пример 2.5. При заданном моменте и геометрических размерах трубы, рассмотренной в предыдущем примере, найти усилие, приходящееся на одну заклепку (см. рис. 2.37, б).

Двумя продольными сечениями выделяем из трубы клепаный узел (рис. 2.38). Сила, действующая на заклепки вдоль образующей, равна но

следовательно,

Если число заклепок равно то сила, приходящаяся на одну заклепку, будет равна

Рис. 2.38

Из силовой схемы, представленной на рис. 2.38, видно, что при отсутствии заклепок концы листа получили бы смещение вдоль образующей. Поперечное сечение вышло бы при этом из своей начальной плоскости и произошла бы, как говорят, депланациясечения. Ограничение депланации приводит к повышению жесткости и прочности стержня.

В тех случаях, когда из эксплуатационных, монтажных или конструктивных соображений приходится идти на применение незамкнутых профилей, стараются наложить местные ограничения на депланацию.

Рис. 2.39

Рис. 2.40

Так, на рис. 2.39 показан стержень с тонкостенным незамкнутым профилем, в котором при помощи жесткой заделки и двух перемычек ограничена депланация. Кручение в таких условиях носит название стесненного кручения.

Пример 2.6. К тонкостенному стержню корытного профиля (рис. 2.40) приваривают стержень с угловым профилем. Определить, во сколько раз увеличится жесткость стержня на кручение и во сколько раз при том же моменте снизятся напряжения.

Для корытного профиля формула (2.32) дает

Для составного профиля по той же формуле получаем

Следовательно, жесткость после приварки уголка увеличится в раз. Согласно формуле (2.31), для корытного профиля

а для составного

Следовательно, после приварки уголка напряжения уменьшатся в раз.