7.8. Анизотропия

Все сказанное по поводу обобщенного закона Гука и вытекающих из него следствий относилось к изотропным средам. Теперь остановимся на упругих свойствах анизотропных материалов.

До недавнего времени в практических задачах инженерной механики эти вопросы на передний край не выдвигались. Это не значит, что анизотропные материалы не находили применения. С ними давно приходится иметь дело. Вспомним хотя бы резинокордную конструкцию автомобильных и авиационных шин, где резиновая оболочка армирована стальными или нейлоновыми нитями, образующими косоугольную сетку. Можно вспомнить и фанерные анизотропные панели, применявшиеся в прошлом для оклейки несущих плоскостей самолетов. Можно привести и другие примеры, где анизотропия фигурирует

как важный фактор расчетной схемы. И все же, несмотря на несомненную важность и даже заслуженность подобных прикладных задач, следует признать, что все они узконаправленны и по своей общности существенно уступают тому богатству структурных схем, которое раскрывается перед нами в связи с применением композиционных материалов. Сейчас немыслимо представить авиационную и ракетно-космическую технику без применения композитов. Композиционные материалы уже охватили многие отрасли промышленности, в том числе производство предметов домашнего обихода.

Композиционные материалы могут иметь различную структуру. Но во всех случаях, по самому определению, композит состоит по крайней мере из двух компонентов - наполнителя и связующего. Последнее обычно называют матрицей. Если наполнитель представляет собой уложенную в определенном порядке систему нитей или нитевидных кристаллов, композиционный материал приобретает резко выраженные свойства анизотропии, и модули упругости в различных направлениях могут различаться в несколько крат.

Не касаясь пока вопросов прочности, постараемся представить армированную структуру композита как сплошную и однородную среду с соответствующими упругими константами, позволяющими построить закон Гука в традиционной форме линейных зависимостей между компонентами напряженного и деформированного состояний. И обобщение в этом случае достаточно очевидно: каждая компонента деформированного состояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния. В итоге получаем следующие соотношения:

где - коэффициенты податливости, которые определяются свойствами материала, но не являются его константами, поскольку зависят еще и от ориентации выбранной системы осей х, у, z.

Как напряженное и деформированное состояния являются тензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга). Исследовать его свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензор симметричный, т.е. Это вытекает из теоремы взаимности работ (см. § 5.6). Работа, например, силы на перемещении вызванном силой равна работе силы на перемещении

откуда следует, что

Рис. 7.32

Если являются главными осями напряженного состояния, то

При этом угловые деформации в нуль не обращаются. Следовательно, в анизотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не совпадают. Это иллюстрирует простой пример, показанный на рис. 7.32. Деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси х образец получит не только удлинение, но и перекос. В данном случае касательные напряжения равны нулю и, следовательно, оси х и у - главные оси напряженного состояния. Деформация же в нуль не обращается. Следовательно, для деформированного состояния оси х и у - не главные. Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растяжении по оси х никаких перекосов не возникало бы, и главные оси напряженного и деформированного состояний совпадали бы. А это означает, что некоторые из коэффициентов податливости при таком выборе осей обращаются в нуль. Значит, при определении коэффициентов

податливости в целях простоты следует сообразовываться с осями анизотропии среды.

Наиболее простой вид матрица податливости приобретает, естественно, в случае полной изотропии (см. (7.20) и (7.21)):

Несколько сложнее выглядит матрица податливости в случае монотропии, или, как ее часто называют, трансверсальной изотропии, которая свойственна композитам с однонаправленной укладкой нитевидного наполнителя (рис. 7.33).

Рис. 7.33

Обратимся к первому выражению (7.21) и, сохраняя обозначения для модуля и коэффициента Пуассона, снабдим их соответствующими индексами. Пусть по оси х модуль будет а по равноправным осям у и Тогда

Обозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя индексами. Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй - той оси, по которой происходит сужение. Для монотропной среды, естественно, Написав аналогичные выражения и для остальных компонент деформированного состояния, получаем матрицу податливости монотропного материала в следующем виде:

Здесь по свойству симметрии а кроме того, поскольку в плоскости среда изотропна, для нее сохраняется хорошо известное соотношение Таким образом упругие свойства монотропной среды определяются пятью независимыми константами.

И, наконец, еще один вид анизотропии, характерный для композитов - ортпотропия, обладающая симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 7.34). Здесь, в отличие от монотропии, оси у и z неравноправны. В частности, ортотропной является древесина. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимыми постоянными:

Рис. 7.34

Рис. 7.35

где, конечно, по свойству симметрии

Упругие постоянные Для композита можно определять не только путем испытания образцов. Если известны модули нитей и связующего, можно с достаточной точностью рассчитать упругие постоянные создаваемого композита. В частности, особенно просто определить модуль упругости для монотропного композита (рис. 7.35). Достаточно очевидно,

что в случае длинных нитей

где - модули упругости нитей и связующего; и - соответственно их объемные доли в композите. Если наполнитель состоит из коротких нитевидных кристаллов, формула дает завышенные значения Возникает также погрешность вследствие различия коэффициентов Пуассона для нитей и матрицы, но она незначительна. Формулы для определения других упругих констант композита существенно сложнее только что приведенной, но не настолько, чтобы это серьезно затрудняло вычисления.

В практике расчетов и упругих констант, и предела прочности композита широко используют понятие монослоя - как основного составляющего элемента слоистых структур. Монослой - это скорее двойной слой (см. рис. 7.35), содержащий два семейства нитей, направленных соответственно под углами или 0°, 90° к оси х.

Если получается однонаправленный монослой. Значения модулей упругости и пределов прочности такого монослоя даны в табл. 7.1. Приведенные данные заметно изменяются в зависимости от рецептуры связующего и от методов изготовления композита.

Таблица 7.1. Механические свойства однонаправленных композитов с эпоксидной матрицей

Окончание табл. 7.1. (см. скан)

В табл. 7.2 даны значения модулей упругости и пределов прочности перекрестно армированных композитов.

Таблица 7.2. (см. скан) Механические свойства ортогонально армированных и перекрестно армированных композитов