5.6. Теорема взаимности работ

Теорема взаимности работ, подобно теореме Кастилиано, относится к числу общих теорем сопротивления материалов. Она прямо вытекает из принципа независимости действия сил и применима ко всем системам, для которых соблюдается этот принцип.

Рис.

Рассмотрим упругое тело, к которому приложены сила в точке А и сила в точке В (рис. 5.28). Полагая, что к системе может быть применен принцип независимости действия сил, определим работу, которую совершат силы при прямом и обратном порядке приложения.

Прикладываем сначала в точке А силу . Эта сила совершит работу где - перемещение точки А по направлению силы вызванное этой силой. Далее, в точке В

прикладываем силу Эта сила совершит работу, которая будет иметь аналогичное выражение . Одновременно совершит работу и сила поскольку при приложении силы произойдет и пермещение точки А. Работа силы будет где - перемещение точки А по направлению силы под действием силы приложенной в точке В.

В итоге получим сумму работ при прямом порядке приложения сил:

Теперь приложим сначала силу а затем Тогда, очевидно, выражение работы будет следующим:

Приравнивая работы, находим

Полученный результат может быть сформулирован следующим образом: работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы.

В этом и заключается теорема взаимности работ.

Эта теорема приобретает большую общность, если учесть, что здесь, как и при выводе теоремы Кастилиано, под можно понимать не просто силы, а обобщенные силы, а под - обобщенные перемещения.

Иногда в теорему взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуя ее как теорему взаимности перемещений. Если выражение (5.14) принимает вид

Перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием такой же силы, приложенной в точке А.

Сказанное может быть проиллюстрировано на примере балки, нагруженной силой Р поочередно в точках А к В

Рис. 5.29

(рис. 5.29). Согласно теореме взаимности перемещений, отмеченные на рисунке отрезки равны.

Теоремы взаимности работ и перемещений оказываются весьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильно упростить решение многих задач сопротивления материалов. Это мы увидим, в частности, в следующей главе, где будут рассмотрены общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем.

В некоторых случаях теорема взаимности работ дает возможность весьма просто решать в общем виде такие задачи, которые другими методами могут быть решены только с большим трудом.

Пример 5.11. Определить изменение объема упругого тела произвольной формы, нагруженного двумя равными, противоположно направленными силами Р (рис. 5.30). Расстояния между точками приложения сил равно Н. Упругие константы материала заданы.

Понятно, что найти решение задачи в столь общей постановке представляется весьма затруднительным. Однако на помощь приходит теорема взаимности работ. Одновременно с заданной нагрузкой будем рассматривать случай нагружения тела равномерно распределенным давлением действующим по поверхности. Тогда имеем две обобщенные силы: систему двух сил Р, с одной стороны, и давление с другой.

Согласно теореме взаимности работ, можно сказать, что

где - взаимное смещение точек приложения сил под действием давления - искомое изменение объема тела под действием сил Р.

При нагружении тела равномерно распределенным давлением в любой площадке тела возникает напряжение равное давлению Для элементарного объема, показанного на рис. 5.31, относительное сжатие в

Рис. 5.30

Рис. 5.31

любом направлении, согласно закону Гука, будет следующим:

Точки приложения сил Р (см. рис. 5.30) сблизятся под действием давления на

Тогда, подставляв в выражение (5.16), находим

Пример 5.12. Замкнутая нерастяжкмая рама, имеющая форму круга, нагружена в своей плоскости произвольной системой сил (рис. 5.32). Показать, что площадь, ограниченная рамой, при ее изгибе не меняется.

Рис. 5.32

Рис. 5.33

Изменение площади рассматриваем как обобщенное перемещение. Соответствующая этому перемещению обобщенная сила представляет собой распределенную нагрузку с постоянной интенсивностью Поэтому наряду с заданным случаем нагружения рассмотрим нагружение той же рамы равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5.33). Тогда, согласно теореме взаимности работ, имеем

где искомое изменение площади под действием произвольной системы сил; сумма работ этих сил на перемещениях, вызванных распределенными силами

Под действием сил перемещения в кольце возникать не будут, поскольку кольцо нерастяжимое, и поэтому Следовательно, правая часть уравнения обращается в куль, и что и требовалось доказать.

Понятно, что полученный результат является правильным только для малых перемещений, пока к системе может быть применен принцип независимости действия сил.